Реферат: Технология и автоматизация производства РЭА

     Y=(B 41 0/p)U (40)  - интегральный (И);

     Y=(K 4o 0+K 41 0p+B 41 0/p)U (41)  -  пропорционально-интегродифференциальный

(ПИД).

     Критерии качества - совокупность показателей, позволяющих оценить

качество  работы САР.  Их можно разделить на две группы:  интегральные

критерии (функционалы, численные значения которых служат мерой качест-

ва) и критерии, основанные на задании определенного расположения полю-

сов системы (применяются исключительно для  оценки  качества  линейных

систем). Оценка качества по обобщенному интегральному критерию

  T

J= 73 0F(x)dt (42), где F(x) - функция переменных, характеризующих состоя-

  0                        ние системы.

     Для линейных систем большинство оценок можно получить без прямого

интегрирования дифференциальных уравнений САР.  При  действии  на  САР

                                - 55 -

случайных  возмущений распространенным критерием качества динамической

точности служит средняя квадратическая погрешность,  являющаяся харак-

теристикой  рассеивания  возможных значений случайной величины относи-

тельно их среднего значения и определяемая как положительное  значение

квадратного корня из дисперсии случайной величины.

     Наряду с этими оценками при синтезе систем со случайными воздейс-

твиями используют удельный риск,  общий риск и другие критерии качест-

ва.

     Частотные характеристики.

     Если передаточную функцию стационарной системы  записать  в  виде

p=jw            (43),            то            функция            вида

W(jw)=(B 4o 0(jw) 5m 0+B 41 0(jw) 5m-1 0+...+B 4m 0)/(A 4o 0(jw) 5n 0+A 41 0(jw) 5n-1 0+...+A 4n 0) (44) будет

частотной   передаточной   функцией.   Ее  можно  представить  в  виде

W(jw)=U(w)+jV(w)=A(w)e 5jF(w) 0    (45),     A(w)= 7? 0(U 52 0(w)+V 52 0(w))     (46),

F(w)=argW(jw)  (47).  На  комплексной плоскости частотная передаточная

функция определяет вектор ОС,  длина (модуль ) которого равна A(w),  а

угол,  образованный этим вектором с действительной положительной полу-

осью,  равен F(w).  Кривая,  которую описывает конец этого вектора при

изменении частоты от нуля до бесконечности,  называется амплитудно-фа-

зо-частотной характеристикой (АФЧХ).

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

                     │jV

                     │

                     │       U(w)

        ─────────────┼───────┬─────────

                    0│\ F(w) │          U

                     │  \    │

                     │    \  │

                 V(w)├──────\C

                     │

     Рис. 11. АФЧХ

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

     Действительную часть    U(w)=ReW(jw)    (48)   и   мнимую   часть

V(w)=ImW(jw) (49) называют соответственно вещественной и  мнимой  час-

тотными функциями.  График вещественной частотной характеристики (кри-

вая U=U(w) при изменении w от 0 до бесконечности) называют  веществен-

ной  частотной  характеристикой,  а  график мнимой частотной функции -

мнимой частотной характеристикой.  Модуль  A(w)=│W(j)│  -  амплитудная

частотная функция, а ее график - амплитудная частотная характеристика.

Аргумент F(w)=argW(jw) называют фазовой частотной функцией,  а ее гра-

фик - фазовой частотной характеристикой.  Установим,  какой физический

смысл имеют частотные характеристики. Если на вход устойчивой линейной

стационарной системы подается гармонический сигнал u=a*sin(wt),  то на

ее выходе после окончания переходного процесса устанавливается  гармо-

нический  процесс с амплитудой в и фазой,  сдвинутой относительно фазы

входного сигнала на угол f. Амплитуда в и сдвиг фазы f зависят от час-

тоты входного сигнала и свойства системы.  Кроме того, амплитуда в за-

висит еще от амплитуды входного сигнала.  Но отношение в/а не  зависит

от амплитуды а.  Оказывается,  что в/а=A(w) и F=F(w), т.е. амплитудная

частотная характеристика равна отношению амплитуды выходного сигнала к

амплитуде входного гармонического сигнала (в установившемся режиме), а

фазовая частотная функция - сдвигу фазы выходного сигнала.

     Временные    характеристики.

     Переходные и импульсные переходные характеристики называются вре-

менными.  Они используются при описании линейных систем как стационар-

ных,  так и нестационарных. Переходной функцией звена называется функ-

ция h(t),  которая описывает его реакцию (изменение выходной величины)

                                - 56 -

на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных  усло-

виях.

     По определению, 1(t)= 7( 01, t>0

                           79 00, t<0 (50).

     График переходной функции - кривая зависимости h(t) от времени  t

называется переходной или разгонной характеристикой.

     Импульсной переходной или  весовой  функцией  называется  функция

w(t),  которая  описывает реакцию системы на единичное импульсное воз-

действие при нулевых начальных условиях.  График импульсной переходной

функции называется импульсной переходной характеристикой.  При опреде-

лении весовой функции использовано понятие единичного  импульса.  Еди-

ничный  импульс  -  импульс с единичной площадью бесконечно малой дли-

тельности. Он описывается дельта-функцией,  которая является одной  из

обобщенных функций.

     Устойчивость является одним из основных требований, предъявляемых

к системам автоматического регулирования. Неустойчивые системы нерабо-

тоспособны. Поэтому важно уметь определять и обеспечивать устойчивость

системы  регулирования.  Существуют  различные  понятия  устойчивости.

Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову. Пусть САР описывается

дифференциальным уравнением  в  нормальной  форме  y' 4i 0=Y 4i 0(y 41 0,...,y 4n 0,t)

(51), i=1...n или в векторной форме y'=Y(y,t) (52), где y=(y 41 0,...,y 4n 0) 5т

и  Y=(Y 41 5т 0,...Y 4n 5т 0)  -  вектор-столбцы  (индекс  "т" обозначает операцию

транспонирования).

     Обозначим y 5o 0(t)  невозмущенное  движение.  Оно  является решением

уравнения (52) при определенных начальных условиях.  Решение уравнения

(52) при любых других начальных условиях называется возмущенным движе-

нием. Представим уравнение (52)  в  отклонениях  xi=yi-y 5o 0i  (i=1,..n),

x'=X(x,t)    (53)    в   уравнении   x=(x 41 0,...,x 4n 0) 5т 0,   X=(X 41 0,...,X 4n 0) 5т 0,

X 4i 0(x,t)=Y 4i 0(x+y 5о 0,t)+y' 5о 4i 0 (54),  i=1,...,n.  В новых переменных невозму-

щенным  движением  является  решение x(t)=0 уравнения (53) при нулевых

начальных условиях. Любое другое решение x[x(t 4o 0),t], т.е. решение (53)

при  произвольном  начальном значении x(t 4o 0) 7- 00,  определяет возмущенное

движение. Оно называется возмущением или начальным возмущением.

     Переменные x 4i 0(y 4i 0),  i=1,...,n называются фазовыми координатами, а

x(y) - фазовым вектором. Пространство n-мерных векторов x(y) называет-

ся фазовым пространством.

     Невозмущенное движение x(t)=0 называется устойчивым по  Ляпунову,

если,  каково бы ни было e>0 , найдется такое b=b(e,t 4o 0)>0, что при лю-

бых t>t 4o 0 ││x[x(t 4o 0,t]││<e,  как только ││x(t 4o 0)││<b.  Здесь ││x││ -длина

вектора (евклидова норма):

            4n

     ││x││= 7S 0(x 52 4i 0) 51/2

            51

     1. Устойчивость  линейных САР.  Если какое-либо решение линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами асимптотичес-

ки устойчиво, то асимптотически устойчиво любое его решение. Поэтому в

случае непрерывных линейных стационарных систем, т.е. систем, описыва-

емых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициен-

тами,  можно  рассматривать  их устойчивость,  не указывая конкретного

движения. Непрерывная линейная стационарная САР называется устойчивой,

если  асимптотически  устойчиво какое-либо ее невозмущенное (заданное)

движение.

     Если заданы внешние воздействия, то уравнение линейных стационар-

ных  САР  можно представить в виде (A 4o 0P 5n 0+A 41 0P 5n-1 0+...+A 4n 0)x=F(t) (55).  В

уравнении A 4i 0,  i=0,1,...,n - заданные постоянные коэффициенты,  F(t) -

заданная   функция   времени.   Общее   решение  уравнения  имеет  вид

X(t)=X 4в 0(t)+X 4c 0(t) (56), где X 4в 0(t) - частное решение неоднородного урав-

нения,     X 4c 0(t)     -    общее    решение    однородного    уравнения

                                - 57 -

(A 4o 0P 5n 0+A 41 0P 5n-1 0+...+A 4n 0)X=0 (57).  Частное решение X 4в 0(t) определяет вынуж-

денное движение,  решение X 4c 0(t) - свободное движение,  т.е.  движение,

которое,  не зависит от внешних воздействий и определяется только  на-

чальными условиями.

     Невозмущенное движение задается внешним воздействием  и  при  от-

сутствии  внешних возмущающих воздействий совпадает с вынужденным дви-

жением X 4в 0(t).  Поэтому линейная система устойчива,  когда  limX 4c 0(t)=0.

Это соотношение можно принять за определение устойчивости  t->oo

линейных непрерывных систем.

     Характеристическое уравнение. Устойчивость линейной системы, т.е.

выполнение  условия,  зависит  от  ее  характеристического   уравнения

A 4o 0L 5n 0+A 41 0L 5n-1 0+...+A 4n 0=0  (58).  Левая часть характеристического уравнения

называется характеристическим  полиномом.  Характеристический  полином

системы  (с  точностью до постоянного множителя и обозначений перемен-

ной) совпадает с ее собственным оператором и знаменателем  ее  переда-

точной функции. Характеристический полином замкнутой системы также ра-

вен (при отрицательной обратной связи) сумме P(p)+Q(p) полиномов  чис-

лителя  и знаменателя передаточной функции W(p)=P(p)/Q(p) (59) разомк-

нутой системы.  Необходимое и достаточное условие устойчивости опреде-

ляется по корням характеристического уравнения.  Если L 4i 0,  i=1,...,q -

корни характеристического уравнения кратности k 4i 0, то общее решение од-

нородного    уравнения    имеет   вид   X 4c 0(t)= 7S 0Q 4i 0(t)e 5lit 0   (60),   где

Q 4i 0(t)=C 41 5(i) 0+...+C 4ki 5(i) 0 - постоянные интегрирования.  В частном случае,

когда все корни l 4i 0,  i=1,...,n,  простые, решение такого: X 4c 0(t)= 7S 0C 4i 0e 5lt

(61).

     Свободное движение при t 76$ 0 стремится к нулю при произвольных пос-

тоянных интегрирования в том случае,  когда все корни характеристичес-

кого уравнения имеют отрицательные вещественные части.  Таким образом,

для того, чтобы линейная непрерывная система была устойчива, необходи-

мо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения име-

ли отрицательные вещественные части: Rel 4i 0<0, i=1,...,q.

     Необходимое условие устойчивости.  Для того,  чтобы система  была

устойчива, необходимо, чтобы коэффициенты ее характеристического урав-

нения были одного знака: A 4o 0>0,...,A 4n 0>0 или A 4o 0<0,...,A 4n 0<0. Если необхо-

димое условие не выполняется, система неустойчива.

     Критерий Гурвица.  Для того, чтобы система была устойчива, необ-

ходимо и достаточно,  чтобы все определители Гурвица,  составленные из

коэффициентов ее характеристического уравнения,  были больше нуля. Это

алгебраический критерий устойчивости.

     2. Устойчивость нелинейных САР.

     САР называется нелинейной, если она описывается нелинейными урав-

нениями. Линейные системы являются идеализированными моделями реальных

САР.  Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нели-

нейность  называется  несущественной.  В противном случае нелинейность

называется существенной.  Для нелинейных систем  несправедлив  принцип

суперпозиции.  В  случае нелинейных систем из устойчивости какого-либо

невозмущенного движения не следует  устойчивость  любого  возмущенного

движения:  одни  возмущенные  движения могут быть устойчивы,  а другие

нет.  Кроме того,  не любое возмущенное движение при t 76$ 0  стремится  к

асимптотически устойчивому невозмущенному движению.

     Вид кривой переходного процесса в линейных системах не зависит от

величины начального отклонения.  В нелинейных системах кривые переход-

ного процесса,  соответствующие различным начальным отклонениям, могут

сильно отличаться.  Более того,  в зависимости от величины  начального

отклонения  от  исходного  состояния система может стремиться к разным

состояниям. В нелинейных системах наблюдаются такие установившиеся пе-

риодические режимы (автоколебания), которые в линейных системах невоз-

можны.

                                - 58 -

     Универсальных методов исследования нелинейных систем нет. Имеются

различные методы, которые пригодны или удобны для решения определенно-

го класса задач.  Довольно широко используются следующие методы: метод

фазового пространства,  прямой метод Ляпунова, частотный метод Попова,

метод гармонической линеаризации и др. Суть метода фазового пространс-

тва  заключается в построении параметрических уравнений фазовой траек-

тории с целью получения фазового портрета. По фазовому портрету систе-

мы можно построить соответствующую кривую переходного процесса.  Фазо-

вые портреты нелинейных систем могут содержать изолированные замкнутые

траектории,  соответствующие периодическим режимам. Эти кривые называ-

ются предельным циклом. Если изнутри и снаружи фазовые траектории схо-

дятся к предельному циклу,  то такой предельный цикл называется устой-

чивым. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивый периоди-

ческий режим (автоколебания). Если движение начинается внутри предель-

ного цикла,  то процесс расходится, если вне - то сходится. Если фазо-

вые  траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него,

то такой предельный цикл называется неустойчивым.

     Метод гармонической  линеаризации разработан и обоснован для исс-

ледования периодических режимов.  Этот метод является  приближенным  и

применим,  если линейная часть,  которая следует за нелинейным элемен-

том,  обладает свойством фильтра низких частот. Сущность метода заклю-

чается в том,  что система представляется в виде линейной и нелинейной

части.  Делается допущение о наличии в системе колебательного  режима,

пренебрегаются высшие гармоники и выходной сигнал представляется в ви-

де ряда Фурье и получается гармонизированная система  вместо  нелиней-

ной, которая и исследуется с использованием частотных характеристик.

             2.7. Понятие и типы моделей сложных систем.

     Моделью называется отображение определенных характеристик объекта

с  целью  его изучения (или управления).  Модель позволяет выделить из

всего многообразия проявлений изучаемого объекта лишь те,  которые не-

обходимы  с  точки зрения решаемой проблемы,  т.е.  модель - отражение

лишь определенной части его свойств. Поэтому, основной проблемой моде-

лирования является разумное упрощение модели, т.е. выбор степени подо-

бия модели и объекта.

     Модели могут быть реализованы как физическими, так и абстрактными

системами.  Соответственно модели бывают физические и абстрактные. Фи-

зическими  моделями  являются  макеты приборов и машин и электрические

модели объектов и явлений.

     В абстрактных моделях  описание  делается  на  каком-либо  языке,

удобном для исследования,  описание на математическом языке называется

математической моделью.

     Представление реального  объекта как системы,  использование сис-

темных понятий при его моделировании послужили методологической  осно-

вой  для  ряда принципов исследования,  объединенных общим названием -

системный анализ. Каждую систему можно исследовать в 2-х аспектах: как

элемент  более широкой системы и как совокупность взаимосвязанных эле-

ментов,  эти два аспекта и определяют микроанализ - изучение и модели-

рование структуры и свойств элементов системы (предполагается, что это

доступно для наблюдения) и макроанализ - изучение системы в целом в ее

свойствах, поведении, взаимодействии с окружающей средой. Метод черно-

го ящика предполагает,  что внутренняя структура системы неизвестна, а

наблюдаемы лишь связи системы с внешней средой.

     Для разработки систем управления технологическим оборудованием  и

процессами  необходимо знать количественную зависимость между воздейс-

твиями на объект управления со стороны внешней среды и устройства  уп-

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22