МЕНЮ


Фестивали и конкурсы
Семинары
Издания
О МОДНТ
Приглашения
Поздравляем

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ


  • Инновационный менеджмент
  • Инвестиции
  • ИГП
  • Земельное право
  • Журналистика
  • Жилищное право
  • Радиоэлектроника
  • Психология
  • Программирование и комп-ры
  • Предпринимательство
  • Право
  • Политология
  • Полиграфия
  • Педагогика
  • Оккультизм и уфология
  • Начертательная геометрия
  • Бухучет управленчучет
  • Биология
  • Бизнес-план
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Банковское дело
  • АХД экпред финансы предприятий
  • Аудит
  • Ветеринария
  • Валютные отношения
  • Бухгалтерский учет и аудит
  • Ботаника и сельское хозяйство
  • Биржевое дело
  • Банковское дело
  • Астрономия
  • Архитектура
  • Арбитражный процесс
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Административное право
  • Авиация и космонавтика
  • Кулинария
  • Наука и техника
  • Криминология
  • Криминалистика
  • Косметология
  • Коммуникации и связь
  • Кибернетика
  • Исторические личности
  • Информатика
  • Инвестиции
  • по Зоология
  • Журналистика
  • Карта сайта
  • Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

    рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными

    коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.

    Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из

    важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии

    уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение

    области определения некоторых функций, их корней, промежутков

    знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает

    существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и

    на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат

    основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию

    уравнений, неравенств и их систем.

    С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг

    вопросов школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и

    функциональным уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального

    уравнения кроется в наличии операции дифференцирования (может быть

    поставлен вопрос о нахождении для заданной функции ( другой функции F,

    такой, что F' (x)=f (х)).

    Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в

    школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются

    формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория

    дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении

    эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют

    связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части

    прикладным вопросам.

    По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более

    широкое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос

    является открытой методической проблемой.

    В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в

    которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не

    представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с

    этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении

    показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др.

    В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с

    алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений

    заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для

    описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.

    § 3. Основные понятия линии уравнений

    1. О трактовке понятия уравнения.

    Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям.

    Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и

    строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к

    овладению школьным курсом алгебры.

    Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме:

    пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х —

    переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется

    предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)—термы относительно заданных

    операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется

    уравнение от двух переменных и т. д.

    Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины

    школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому

    наиболее близко к приведенному формальному определению следующее

    определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя

    выражениями с этой переменной, называется уравнением»

    Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно

    выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это

    особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство,

    соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный

    вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств,

    оба компонента играют значительную роль.

    Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия

    корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется

    при обоснованbи корректности того или иного преобразования уравнения.

    Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей

    уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда

    запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие

    преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

    Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию

    уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит

    от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном

    материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение

    невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в

    определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения,— корня

    уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в

    себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает

    смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике

    Колмогорова А. Н. "Алгебра и начала анализа"[с. 330]: «Равенство с

    переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором

    равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется

    корнем уравнения»..

    Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие

    уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода

    решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения,

    существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно

    представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа,

    имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию.

    Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи:

    «Конверт с новогодней открыткой стоит 17 к. Конверт дешевле открытки на 5

    к. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения

    осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи

    .х+(х-—5)= 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме.

    С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти

    определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой,

    называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение

    неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».

    Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному

    компоненту понятия уравнения — прикладному.

    Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового,

    прикладного), в школьной математике большую роль играет компонент, при

    котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль

    проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в

    известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу

    определения уравнения.

    Еще один подход к определению понятия уравнения получается при

    сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно

    множество корней уравнения — собственное подмножество его области

    определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится

    использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на

    равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь

    противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу

    определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно

    превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв,

    называется уравнением»

    Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина:

    «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от

    друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина

    «множество».

    Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать

    термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При

    этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст

    определения, надо включать и все другие его компоненты по мере

    развертывания материала данной линии.

    В определении понятия уравнения используется один из двух терминов:

    «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что

    переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально,

    а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа

    (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по

    текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов

    для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать

    окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные

    различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с

    термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы,

    поэтому в уравнение а(х)=b[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и

    находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное

    число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому

    нелогично. Нахождение корней уравнения а{х)=b{х) с этой точки зрения должно

    осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают

    как верное и пытаются привести его к виду х=х0, где х0 — числовое

    выражение.

    При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное»,

    который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения

    текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и

    неравенств.

    2. Равносильность и логическое следование.

    Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения

    уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие

    равносильности.

    Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны

    соответствующие предикаты, т. е. если выполнены условия: области

    определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два

    пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные

    множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения

    х + 1=х + 2 и x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют корней.

    Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить

    последовательный переход от одной записи к другой посредством

    преобразований, не нарушающих равносильности.

    Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен.

    Это и понятно, ведь равносильность в теории уравнений как раз и

    используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения

    уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно,

    поскольку он относится только к практическому применению равносильности и

    требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия

    равносильности как равносильности предикатов требует значительной культуры

    мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного

    курса алгебры без специальных значительных усилий.

    В отношении формирования понятия равносильности и его применения к

    решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы.

    К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных

    преобразований основано на явном введении и изучении понятия

    равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных

    преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над

    понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.

    В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии

    уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап

    охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь

    происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее

    простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают

    индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере

    накопления опыта индуктивные рассуждения все чаще заменяются такими, где

    равносильность фактически используется, но сам термин не употребляется.

    Длительность этого этапа может быть различной; она зависит от методических

    установок, принятых в данном учебном пособии.

    На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и

    сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований,

    которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна,

    поскольку на нем происходит только выделение этого понятия и его

    использование на нескольких теоретических примерах.

    На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит

    развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой

    стиль характерен для курса алгебры и начал анализа, изучаемого в старших

    классах средней школы. Он применяется и в некоторых пособиях по алгебре для

    неполной средней школы.

    Помимо равносильных, к изучению материала линии уравнений применяются

    и другие, вообще говоря, не равносильные преобразования. Большая часть из

    них в школьном курсе не выявляется, хотя они более или менее существенно

    используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением

    служит понятие логического следования, которое в ряде учебных пособий

    является предметом изучения. Методика работы с понятием логического

    следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не

    вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и

    равносильных преобразований.

    Логическое следование начинает применяться значительно позже

    равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При

    решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается

    равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда,

    когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это,

    однако, не означает, что использование логического следования — вынужденная

    мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется

    как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может

    быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.

    Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся

    логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая

    (пример: переход от уравнения а -b= 0 к рассмотрению уравнения а=0). Такие

    переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие

    сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.

    3. О классификации преобразований уравнений и их систем.

    Можно выделить три основных типа таких преобразований:

    1) Преобразование одной из частей уравнения.

    2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.

    3) Преобразование логической структуры.

    Поясним эту классификацию.

    Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения

    выражения, входящего в запись решаемого уравнения. Например, решая

    уравнение cos x-tg x=l, можно пытаться заменить выражение в левой части

    более простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к

    уравнению sin x= 1, неравносильному исходному за счет изменения области

    определения. Возможность получения при такой замене уравнения,

    неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов

    уравнений, например тригонометрических или логарифмических. В классе дробно-

    рациональных уравнений с этим явлением приходится сталкиваться гораздо

    реже. (Здесь это связано с возможностью потери корней при сокращении

    дроби.) Наконец, в классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый

    тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным.

    Преобразование одной из частей уравнения используют раньше всех других

    преобразований уравнений, это происходит еще в начальном курсе математики.

    Прочность владения навыком преобразований этого типа. имеет большое

    значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они

    применяются очень часто.

    Основой преобразований данного типа являются тождественные

    преобразования. Поэтому классифицировать их можно в соответствии с

    классификацией тождественных преобразований, например раскрытие скобок,

    приведение подобных членов и т. д.

    Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей

    уравнения в результате применения к ним арифметических действий или

    элементарных функций. Общей основой всех преобразований этого типа является

    логический принцип, выражающий характеристическое свойство равенства

    выражений: если выражения а и b равны и в выражении F (х) выделена

    переменная х, которая может принимать значение а, то выражения F (а) и F

    {b) равны: a = b =>F школьного обучения используются редко. Приведем пример такого.

    Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной

    стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с

    другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований

    имеются широкие возможности для формирования логической культуры. Большое

    значение имеет выяснение вопросов, относящихся к характеризации

    производимых преобразований: являются ли они равносильными или логическим

    следованием, требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна ли

    проверка? Сложности, которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем,

    что далеко не всегда возможно привести характеризацию одного и того же

    преобразования однозначно: в некоторых случаях оно может оказаться,

    например, равносильным, в других равносильность будет нарушена.

    В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только

    овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных

    заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования

    решений в случаях, когда это необходимо.

    4. Логические обоснования при изучении уравнений.

    При изучении материала линии уравнений значительное внимание уделяется

    вопросам обоснования процесса решения конкретных заданий. На начальных

    этапах изучения курса алгебры и в курсе математики предшествующих классов

    эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. По мере

    накопления опыта решения уравнений, систем различных классов все большую

    Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6


    Приглашения

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хореографического искусства в рамках Международного фестиваля искусств «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хорового искусства в АНДОРРЕ «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»




    Copyright © 2012 г.
    При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.