Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

Министерство общего и профессионального образования РФ

Светлоградский педагогический колледж

Дипломная работа

Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5 - 9

классах

Выполнила:

Руководитель:

Светлоград, 2000 г.

Содержание:

|Введение: | |3 |

|Глава 1. |Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 |4 |

| |- 9 классах с использованием самостоятельной | |

| |работы. | |

|§ 1. |Из истории возникновения уравнений. |4 |

|§ 2. |Содержание и роль линий уравнений в |8 |

| |современном школьном курсе математики. | |

|§ 3. |Основные понятия линий уравнения. |11 |

|§ 4. |Обобщенные приемы решения уравнений с одной |23 |

| |переменной в школьном курсе алгебры. | |

|§ 5. |Методика изучения основных классов уравнений |28 |

| |и их систем. | |

|Глава II. |Методико - педагогические основы |36 |

| |использования самостоятельной работы, как | |

| |средство обучения решению уравнений. | |

|§ 1. |Организация самостоятельной работы при |36 |

| |обучении решению уравнений. | |

|§ 2. |Исследовательская работа |69 |

|Заключение | |73 |

|Библиография | |74 |

|Приложение | |75 |

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их

изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно,

уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто

практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах

и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных

видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на

различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство,

промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать

уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при

обучении решения уравнений.

Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является

актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей

математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного

овладения современным содержанием школьного математического образования

необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении

активизации самостоятельной деятельности учащихся. Для этого требуется

четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к

самостоятельному выполнению работ различного характера. Важным также

является раскрытие процесса формирования умений и навыков самостоятельной

работы при обучении курсам математики, при этом необходимо показать, как в

ходе преподавания математики учитель может осуществить формирование у

учащихся отмеченных выше умений и навыков.

Поэтому я решила работать над данной темой дипломной работы:

«Самостоятельная деятельность, как средство обучения решению уравнений в 5-

9 классах.

Я хочу в своей дипломной работе рассмотреть вопросы связанные с

изучением уравнений в курсе математики и как при помощи схемной работы

улучшить качество усвоения материала дипломной темы.

Поэтому при работе над дипломной работы я перед собой поставила следующие

цели и задачи.

1. Изучить психолого - педагогическую и методическую литературу, Касающуюся

изучению уравнений. Проанализировать школьные учебники и выделить в них

место уравнений.

2. Составить конспекты уроков обучения решения различных видов уравнений с

использованием самостоятельной работы.

3. Разработать самостоятельных работ для учащихся по различным темам

уравнений.

Провести наблюдения за использованием класса в процессе самостоятельной

работы.

Глава I. Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 - 9 классах с

использованием работы

§ Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи

уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных,

зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и

данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы

нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических

действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства

действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений

были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени[1] еще

в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с

нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного

характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные

уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя

современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных

текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные

уравнения:

[pic][pic] [pic]

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах,

совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли

вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные

тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без

указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных

текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения

квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако

в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями

и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает

неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а

произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что

искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение

равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины

их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е.. 10 - х. Разность между

ними 2х. Отсюда уравнение

(10+x)(10—x) =96,

или же

100 —x2 = 96.

x2 - 4 = 0

Отсюда х == 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2

для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только

положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из

искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

y(20-y)=96

y2 - 20y+96=0

Ясно, что, выбирая в качестве нtизвестного полуразность искомых чисел,

Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного

квадратного уравнения

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом

трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и

астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.),

изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой

канонической форме:

ax2 + bх = с, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило

Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении

трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу

таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды,

так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и

решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

3 а д а ч а 13.

|«Обезьянок резвых стая |А двенадцать по лианам |

|Всласть поевши, развлекалась |Стали прыгать, повисая |

|Их в квадрате часть восьмая |Сколько ж было обезьянок, |

|На поляне забавлялась |Ты скажи мне, в этой стае?» |

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней

квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 13 уравнение

[pic]

Бхаскара пишет под видом

[pic]x2 - 64x = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к

обеим частям 322, получая затем:

x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

х - 32= ±16,

x1 = 16, x2 = 48.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и

квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их

следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены

каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не

берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор

излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и

ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не

говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что

при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и

все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому,

что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении

полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах

излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней,

получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4.

Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет

искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой

систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы

их решения.

§ 2. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе

математики

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного

курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в

различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с

наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная

часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими,

вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный

характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых

искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями,

требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или

системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись

арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки

алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели

решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к

уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения

текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения

алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими

математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия,

посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение

подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с

переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге

длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв,

введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже

XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим

предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее

ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании

методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с

понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась

важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических

понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним

развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к

задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных

геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение

уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь

уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

a) уравнение как средство решения текстовых задач;

b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом

изучения;

c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или

координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое кз этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно,

причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если

речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения,

его изучение в современной методике математики организовано в содержательно

- методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются

вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных

методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой,

функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в

алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии

уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом

при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод

широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением

приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает

математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что

прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются

основной частью математических средств, используемых в математическом

моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в

двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и

их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов,

относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной

математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно

наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий

и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку

они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения,

относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою

очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические

понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование,

которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с

остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой

линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих

линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все

числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за

исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением

каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических

выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k - натуральное

число, большее 1) и ax=b.

Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример

показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное

влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область

расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например,

введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет

записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6