Математика и живые организмы

Константа Вебера зависит от того, какой рецептор раздражается. Например, при восприятии веса й=1/30. Это значит, что, когда человек держит груз в 100 г, он замечает его изменение при увеличении веса на 3,4 г, а для груза в 200 г требуется прибавка в 6,7 г. Для высоты звука константа Вебера равна 0,003, для громкости звука — 0,09 и т. д.

Исходя из экспериментов Вебера, другой немецкий физиолог и психолог Г. Фехнер сформулировал знаменитый закон Вебера — Фехнера: ощущения растут в арифметической прогрессии, когда раздражение растет в геометрической прогрессии.

Этот закон был опубликован в книге Фехнера «Элементы психофизики» в 1859 году. Там же было приведено и математическое выражение закона:

E=alog I + b

где  Е — мера  ощущения,   а   и   Ь — константы,   I — мера    раздражения.

Рис. 1

4)    Объект восприятия – пространство

Здесь уподобление мозга вычислительной машине стало настолько тривиальным, что эти слова можно даже не брать в кавычки. Но тождественность результатов на «выходе» (задачку можно решить в голове, можно и на ЭВМ) еще не значит, что оба устройства работают одинаково. К тому же нас в данном случае интересует не столько способность мозга распутывать математические или какие-нибудь другие задачи как таковые, сколько его умение управлять телом. Точность движений роднит человека со всем животным миром, хотя надо признать, что в этой области он как раз не чемпион.

Предметы, окружающие нас, трехмерны. Однако изображение их на сетчатке двухмерно. Формирование образа трехмерного объекта – процесс далеко не простой. В нем участвуют как бессознательные, так и логические операции.

Соотношение между зрительным ощущением перспективы и третьим измерением интересовало еще древних греков. Пифагорийцы выдвинули идею об особом флюиде, который испускается глазами и «ощупывает» предметы. Атомисты, например, были сторонниками испускания предметами «призраков», которые,… попадая в глаза, приносят ощущение формы и глубины.

Согласно Платону, от предметов исходит специальный флюид, который встречается со «светом дня», бьющим из наших глаз. Если оба флюида подобны друг другу, то, встречаясь, они «связываются» и газа получают ощущение глубины видимого. Если же «свет очей» встречается с несхожим флюидом, он гаснет и не дает ощущение.

Несмотря на наивность физической трактовки восприятия, древние греки достигли больших успехов в геометрической оптике. Евклид старался подчеркнуть геометрический характер оптических изображений. Великий астроном Птоломей не ограничился, как Евклид, рассмотрением геометрической оптики, он обсуждал физические процессы, лежавшие в основе зрения, и связанные с ними оптические иллюзии.

Знаменитый французский монах Роджер Бэкон, живший в XIII в., писал о том, что опыт не может основываться лишь на внешних ощущениях, потому что он не полностью говорит о духовных. Огромную роль в пространственной ориентации играет наше сознание.

В мозгу производиться синтез зрительного образа и извлечение информации о его геометрической протяженности и пространственной ориентации из двух несовершенных, перевернутых и искривленных шарообразной формой глазного яблока изображений. Чтобы получить информацию о глубине, необходимо иметь, по крайней мере, два плоских изображения, смещенных на некоторый угол.

Глаза человека могут поворачиваться в глазных впадинах более чем на 80˚ в вертикальном и горизонтальном направлениях. Мозг регистрирует сигналы о натяжении мышц глаза, кроме того, существенная роль принадлежит тремору – мелким движениям глазного яблока. Корректирующая работа мозга при пространственном восприятии чрезвычайно велика. Именно этим объясняется постоянство в восприятии размеров предметов в некотором диапазоне расстояний, когда изображения на сетчатке претерпевают изменения. Иногда наблюдается обратное явление, например не нашедшее еще объяснения кажущееся увеличение размеров Солнца и Луны у Лии горизонта. Этот парадокс был известен еще Архимеду.

Сейчас нам довольно подробно известно, каким образом проприоцептивные рецепторы, поставляющие информацию о взаимном расположении всех частей нашего тела, создают в мозгу внутренний образ тела. Мы не только видим себя, но и ощущаем собственное тело как границу нашего Я в беспредельном мире. Эти ощущения привычны для нас, они дают нам реальную картину соотношений внутреннего и внешнего. Лишь в особых случаях — при некоторых заболеваниях — в сознании возникают пространственные иллюзии: огромная рука, неимоверно длинные ноги, тяжелые пальцы... Известны и более причудливые искажения так называемой схемы тела. Рассматривая эти и подобные им сбои в работе мозга как вычислительной машины, мы можем сказать, что в нервных центрах происходит сложнейшая интеграция постоянного потока разнородных импульсов, в результате чего на внутреннем экране возникает подвижное    изображение. Нарушение же настройки приводит к помехам, искажениям этого изображения.

Конечно, аналогию с телевизором не следует толковать буквально. Нам пока недостаточно известно, как «видит» мозг. Есть основания предполагать, что уже в мозгу формируется трехмерное, т. е. объемное изображение предметов. Но эксперименты, которые могли бы это подтвердить, едва лишь начаты. Нам важно понять и запомнить другое: в ходе развития живого организма формируется аппарат самоуправления, который можно моделировать в виде самопрограммирующейся вычислительной машины. На ранних этапах эта машина совпадает со всем развивающимся телом, но по мере его созревания функции управления сосредоточиваются в центральной нервной системе.

5)    Зачем кошке векторы?  

Слово «вектор», можно сказать, совсем «младенец» — по-видимому, оно появилось впервые в работе английского математика У. Гамильтона в 1845 году. Но соответствующее понятие использовалось в физике еще за несколько столетий до этого в связи с рассмотрением закона сложения сил («правила параллелограмма»). Про векторы же в организме животных мы узнали только в самые последние годы.

Началось с кошек. В 1988 году канадский ученый Дж. Макферсон выполнила интересную  работу.  Она ставила кошку на специальную платформу, толкала эту платформу в каком-нибудь направлении и смотрела, каким образом кошка сохраняет равновесие. Допустим, она толкнула платформу вперед. Ноги кошки вместе с платформой стали уходить вперед, а тело остается на месте. Тогда кошка, чтобы возвратить центр тяжести в правильное положение над точками опоры активирует мышцы лап и, отталкиваясь от платформы, двигает тело вперед. Если платформу толкнуть вправо, центр тяжести отклонится влево по отношению к опоре и лапы должны создать силу, направленную вправо, и т. д.

Как же происходит эта работа лап при сохранении равновесия?

Самое естественное — это предположить, что каждая из двух задних лап при толчке вперед создает силу, направленную вперед; сумма этих двух сил и восстанавливает правильное положение тела (рис. 2, а). Если платформу толкнули вправо, каждая лапа создает силу, направленную вправо, и т. д. Такая гипотеза согласуется с тем, что у кошки есть мощные мышцы, которые двигают лапу вперед или назад — они используются для ходьбы и прыжков, а также мышцы, отводящие лапу наружу или по направлению к оси тела. Однако когда Макферсон стала выяснять, что происходит на самом деле, оказалось, что картина совершенно другая: при толчке платформы, независимо от направления движения, задние лапы кошки создают силы, направленные вдоль двух прямых (каждая лапа — вдоль своей), расположенных примерно под углом 45° к оси тела. Даже в простейшем случае, когда платформу толкают прямо вперед, силы, создаваемые лапами, направлены не вперед, а тоже под углом 45° к оси тела (снова см. рис. 2, а). И только их сумма имеет нужное направление и величину.  На  рисунке  2,  б показано,  как получается сила, направленная перпендикулярно телу, а на рисунке 2, в — сила, направленная под углом 30 ° к оси тела.

Значит, нервная система кошки решает следующую задачу. При толчке платформы по информации, полученной от разных рецепторов, определяется, какой вектор (силу) нужно получить, затем этот вектор раскладывается по фиксированным осям координат. При таком способе получается, что каждой из двух задних лап нужно передать всего одно число — координату вектора силы (положительную или отрицательную), которую должна создать эта лапа вдоль своей фиксированной оси.

Получается очень экономная схема. Но жизнь так полна неожиданностей! Разбираясь в том, какими мышцами создается это фиксированное направление (казалось бы, чего проще: использовать для единичного вектора одного направления мышцы, двигающие ногу вперед и внутрь, а для создания другого — назад и наружу, а дальше менять пропорционально силу, развиваемую этими мышцами,— умножать на число», и все в порядке), Макферсон получила еще один неожиданный результат. Оказалось, что в создании «единичного» вектора могут участвовать разные мышцы, их сочетание меняется в зависимости от направления толчка. В чем смысл такого, с нашей точки зрения, усложненного решения, еще выяснять и выяснять. Однако здесь проявляется общий принцип живого: избегать жестких схем, иметь всегда избыток «степеней свободы», словом, плюрализм.

Рис. 2

6)    Векторы в мозгу обезьяны и человека

Трудности в выяснении вопроса о том, как на самом деле происходит решение той или иной задачи, связаны с тем, что заглянуть в «управляющий центр» — в мозг — очень трудно. В этом смысле мозг пока что во многом «черный ящик»: можно видеть, какая задача ему предложена, можно видеть, какой он выдает результат,— а вот что происходит внутри, об этом сведений еще очень и очень мало.

Тем более интересна и важна работа, которая позволила почти непосредственно увидеть, как идет работа мозговых нейронов при решении некоторых задач. Эту работу совсем недавно выполнил американский ученый А. Георгопулос. Он экспериментировал с дрессированными обезьянами. Лапа обезьяны помещалась в некоторой точке стола, а в различных точках стола помещались электрические лампочки. Обезьяну научили при вспышке какой-нибудь лампочки двигать лапу по направлению к этой лампочке. В это время экспериментатор регистрировал с помощью вживленных электродов активность (частоту импульсации) нервных клеток коры больших полушарий в той ее зоне, которая управляет движениями этой лапы.

Оказалось, что активность большинства клеток этой зоны мозга зависит от направления движения лапы; и эта зависимость достаточно четкая: для каждой из клеток существует такое направление движения, при котором активность максимальна; при других направлениях активность уменьшается примерно как косинус   угла между данным направлением и направлением максимальной активности. Для тех направлений, для которых косинус отрицателен, клетка вообще перестает импульсировать.

Получается, что с каждой клеткой коры связан определенный вектор максимальной активности Amax (рис. 3). Когда нужно двигать лапу по другому направлению, т. е. задан некоторый единичный вектор направления е, клетка находит проекцию Amax на это направление, т. е. «вычисляет» скалярное произведение Amax ∙e. Выяснив это, Георгопулос поставил обратную задачу: нельзя ли, регистрируя работу нервных клеток, определить направление движения лапы. Математически эта задача может быть сформулирована как вопрос о существовании функции, обратной к заданной. Ясно, что по активности одной клетки направление движения определить нельзя: во-первых, косинус — функция четная, и в том промежутке, который нас интересует, не имеет обратной. Действительно, если, например, направление максимальной активности — это прямо вперед, а активность нейрона составляет половину максимальной, то известно, что лапа движется под углом 60° к преимущественному направлению, но вправо или влево от него — определить невозможно. Во-вторых, у одной клетки слишком велика «мертвая зона» — зона, когда она вообще молчит. Но если регистрировать несколько клеток, то можно успешно определить направление, в котором движется лапа (и даже предсказать, в каком направлении она будет двигаться, так как клетки начинают работать за десятую долю секунды до того, как лапа начинает двигаться). Представляем читателю самостоятельно решить такую задачу: какое минимальное число клеток требуется для того, чтобы уверенно определять направление движения во всех случаях? (Конечно, мы даем эту задачу, так сказать, в математической формулировке, которая, как всегда, упрощает ситуацию — как и мы ее упрощаем в нашем рассказе.)

То, что по активности нейронов можно не только установить, куда движется лапа, но и предсказать, куда обезьяна еще только собирается двигать ее, т. е. как бы подсмотреть мысль о движении, позволило Георгопулосу сделать еще одну, очень красивую работу.

Еще в 1971 году американские психологи Р. Шепард и Дж. Метцлер обнаружили явление, которое они назвали «мысленным вращением». В экспериментах испытуемым показывали две фигуры и спрашивали: это разные фигуры или одна и та же, но повернутая на некоторый угол? Время ответа оказалось линейной функцией величины угла поворота одной фигуры относительно другой.

В другом варианте эксперимента попеременно показывали букву R или ее зеркальное отражение — букву Я; надо быстро определить, какая это буква. При этом букву показывали в разных положениях. И здесь время ответа было пропорционально углу поворота буквы относительно «нормального» положения.

Ученые  предположили,   что   человек в таком эксперименте мысленно вращает образ воспринимаемой фигуры (а по ряду психологических экспериментов, скорее, эталон фигуры, хранимый в памяти) с постоянной угловой скоростью и даже определили эту скорость. Получилось 450°/с. Однако такими экспериментами невозможно доказать гипотезу «мысленного вращения», так как остается неизвестным, что же происходит в действительности в головах испытуемых.

Георгопулос, обретя возможность «подглядывать» за работой нейронов мозга обезьяны, получил в 1989 году данные, которые делают гипотезу о мысленном вращении более обоснованной.

Теперь обезьяну научили тянуть лапу не к той лампочке, которая горит, а к той, которая находится под углом 90° к ней. Экспериментаторы смогли узнать, что происходит в мозгу обезьяны от момента, когда зажглась лампа, до начала движения лапы. Оказалось, что после вспышки вектор направлен прямо на лампочку, затем начинает вращаться и, когда повернется на 90°, начинается движение лапы. Скорость вращения вектора оказалась равной примерно 730°/с, т. е. была того же порядка, что и в психологических опытах с человеком.

Таким образом, как показывают эти эксперименты, мозг может производить и геометрические преобразования (на самом деле, не только повороты, но, видимо, и многие другие, например   преобразования   подобия).

Сделаем еще один намек на математические способности мозга. Сейчас бурно развивается параллельное программирование. Но когда человек берет предмет, он одновременно управляет работой и плеча, и локтя, и пальцев, осуществляя самое настоящее параллельное программирование.

Рис. 3

7)    Быстрое размножение

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит 3000 зернышек.

Отсюда следует, что будь вокруг макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков.

Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки, содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год будет уже не менее 3000*3000=9 000 000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков одного мака будет уже достигать 9 000 000*3000=27 000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81 000 000 000 000*3000=243 000 000 000 000 000. Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 млн. м2 – примерно в 2000 раз менее чем выросло бы экземпляров мака.

Если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре.

В действительности же мы не наблюдаем такого чудовищно быстрого размножения, т. к. огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями или же просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

Это верно не только для растений, но и для животных. Не будь смерти, потомство одной пары любого животного рано или поздно заполонило бы всю землю. Рассмотрим для примера, как быстро размножается всем известная комнатная муха. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых – самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что мха самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

15 апреля – самка отложила 120 яиц; в начале мая – вышло 120 мух, из них 60 самок;

5 мая – каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая – выходит 60*120=7200 мух, из них 3600 самок;

25 мая – каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня – выходит 3600*120=432000 мух, из них 216 000 самок;

14 июня – каждая из 216 00 самок кладет по 120 яиц; в конце июня – выходит 25 920 000 мух, в их числе 12 960 000 самок;

5 июля – каждая из 12 960 000 самок кладет по 120 яиц; в июле – выходит 1 555 200 000 мух, в их числе 777 600 000 самок;

25 июля – выходит 93 312 000 000 мух, среди них 46 656 000 000 самок;

13 августа – выходит 5 598 720 000 000 мух, среди них 2 799 360 000 000 самок;

1 сентября – выходит 355 923 200 000 000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета родиться от одной пары, вообразите, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Т. к. длина одной мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км – в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

8)    Математическая модель теплообмена в носовой полости

Пытаясь изучить носовую полость как теплообменник, мы сталкиваемся с необходимостью учитывать огромное число переменных. При переносе тепла между воздухом и стенками полости вода либо испаряется, либо конденсируется. И при этом происходит либо связывание, либо освобождение значительных количеств скрытой теплоты парообразования. Для потоков тепла и воздуха очевидна важность таких геометрических переменных, как общая поверхность, на которой происходит теплообмен, и расстояние ядра оттока воздуха до стенок полости. Важную роль играют температура воздуха и влажность, поскольку оба эти физические условия оказывают влияние на перенос тепла и испарение. Интенсивность дыхания и объем вдыхаемого воздуха могут варьировать. Оба эти параметра воздействуют на линейную скорость протекающего через носовую полость воздушного потока, а скорость потока непрерывно изменяется на протяжении каждого цикла вдыхания. Не следует забывать и о кровотоке, который не только поставляет испаряющуюся воду, но и переносит тепло от внутренних участков тела к полости носа.

Страницы: 1, 2, 3