Математика и живые организмы

Математика и живые организмы

Содержание

       I.      Введение

    II.      Основная часть

1)     Как считают нейроны

2)     Клетка в числах

3)     Глаза и логарифмы

4)     Объект восприятия – пространство

5)     Зачем кошке вектор

6)     Векторы в мозгу обезьяны и человека

7)     Математическая модель теплообмена в носовой полости

8)     Интенсивность метаболизма

9)     Симметрия

10) Спиральные образования

 III.      Заключение

IV.      Список использованной литературы

      I.      Введение

Недавно мне попалась в руки увесистая монография, где чуть ли не каждая страница была испещрена формулами. А речь шла всего лишь о том, как человек стоит. Что же произойдет, когда он сделает два- три шага? Какого размера должна быть страница, чтобы на ней уместилось хотя бы одно из алгебраических уравнений, описывающих движение? А разве менее сложна геометрия живых форм, начиная от амебы и кончая замысловатыми букетами животных-цветов—морских анемонов?

Живая природа сделала множество «изобретений», которые люди поняли и смогли повторить лишь при соответствующем уровне развития науки и техники. Например, принцип эхолокации эффективно используют и дельфины, и летучие мыши, а в технике он появился только в XX веке; поиск добычи по инфракрасному излучению используют многие виды змей, в то время как очки для ночного видения созданы лишь недавно и т. д. До последнего времени бытовало убеждение, что природа не изобрела колеса, что здесь техника пошла своим оригинальным путем. Но оказалось, что жгутики бактерий вращаются в специальных «подшипниках» и, значит, колесо тоже «изобретено» природой еще на самых ранних этапах эволюции. Существует специальная наука — бионика, которая изучает «патенты природы». Оказывается, что их можно иногда использовать и в «человеческой» технике.

Менее известно, что в живых организмах происходят явления, которые позволяют считать, что природе принадлежит «приоритет» и в создании своеобразных ЭВМ — устройств, производящих операции, весьма сходные с математическими операциями, которые мы склонны считать достижением. Две руки, два глаза. Десять пальцев на руках — древнейший счетный прибор и основа десятичной системы счисления. Уже беглый взгляд на наше собственное тело открывает то, что можно было бы назвать арифметикой живого. Прибавьте к этому удивительную способность природы многократно копировать из поколения в поколение эти бесконечно прихотливые и, казалось бы, неповторимые комбинации линий, фигур и поверхностей— и станет понятно, что математический расчет внутренне присущ живой материи ничуть не меньше, чем миру «стальных машин, где дышит интеграл». Попробуем уяснить себе, в чем именно проявляется присутствие математики в биологическом организме.

Цель работы: исследовать связь математики с живой природой; доказать наличие у представителей флоры и фауны тех признаков, которые позволяют создать их математическую модель; объяснить естественные процессы с точки зрения математики; рассказать о некоторых «изобретениях» природы, которые используются и будут использоваться в науке и технике; показать, как знания из области математики могут помочь в биологии.

Задачи научной проблемы: научиться создавать технические объекты на основе математических моделей представителей флоры и фауны; решать вопросы, связанные с живыми организмами, используя математические законы; «перенять» у природы ее «изобретения».

   II.      Основная часть

1)    Как считают нейроны

Первое знакомство с математикой — это счет: «Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять». И самым простым кажется и считается натуральное число. Уже отрицательные числа очень медленно входили в математику. Появившись в раннем средневековье у математиков Индии, они лишь в XIII—XIV веках проникают в европейскую науку, встречая там поначалу весьма сдержанное отношение. Их называют «ложными», «абсурдными» числами. Но постепенно отрицательные числа доказали свое право на существование и стали привычными не только для специалистов — то, что было «на переднем крае науки» в средние века, сегодня спокойно воспринимают пятиклассники.

А вот в живых организмах, оказывается «все наоборот»: нервной клетке (нейрону) естественно и просто осуществлять операции с положительными и отрицательными действительными «числами», а для того чтобы «считать» даже до двух, требуется система из нескольких нейронов — примитивный «мозг».

Как же работает нейрон? Как всякая клетка, нейрон отделен от наружной межклеточной среды особой оболочкой — мембраной. Между внутренним содержимым клетки и наружной средой существует разность потенциалов. Если клетка находится в покое, разность потенциалов на ее мембране не меняется. Эту разность потенциалов в покое естественно принять за нулевой уровень (подобно тому, как приняли за нулевую температуру таяния льда).

На нейрон могут действовать другие нервные клетки — возбуждающие и тормозные. Сигналы, полученные от этих клеток, вызывают изменения разности потенциалов на мембране в двух противоположных направлениях. Когда разные сигналы приходят к нейрону одновременно, они складываются, причем, естественно, с учетом знака, т. е. нейрон суммирует приходящие к нему положительные и отрицательные сигналы; эта сумма может быть положительной или отрицательной.

Интересная особенность работы нейрона состоит в том, что в отличие от технических сумматоров — от древнего абака до ЭВМ — полученную сумму он «помнит» недолго: если внешние воздействия прекратились, то накопленная сумма начинает убывать по абсолютной величине, чтобы нейрон возвратился в состояние  покоя  (потенциал   на  мембране стремится к значению, которое мы приняли за нуль).

Такая вроде бы «ненадежность» нейрона связана с тем, что он предназначен не для хранения, а для передачи и преобразования информации: полученный сигнал нейрон передает другим клеткам нервной сети (клеткам-«мишеням» или «адресатам»). По способу передачи сигнала существуют два разных типа нейронов с разными принципами работы: «аналоговые»    и    «пороговые»    нейроны.

Нейрон первого типа действует на клетки-мишени с силой, пропорциональной накопленной сумме,— но только в том случае, когда эта сумма положительна. Когда же сумма отрицательна, то она дальше не передается — нейрон заторможен. Правило преобразования сигналов аналоговыми нейронами описывается формулой y = k(x +|x|)/2, где х — накопленный потенциал, у — величина переданного сигнала, а k — коэффициент пропорциональности.

Нейроны второго типа работают иначе. Такой нейрон «молчит», пока сумма воздействий не достигнет некоторой определенной положительной величины — «порога». Тогда нейрон возбуждается и посылает по своему выходному отростку — аксону — электрический импульс (всегда одной и той же величины), который и действует на клетки-мишени. После возбуждения нейрон некоторое время «отдыхает» — молчит, независимо от того, действуют на него другие клетки или нет, а затем, если к концу отдыха накопленная сумма выше порога, посылает новый импульс. В результате в зависимости от величины входного сигнала, его длительности и в зависимости от характеристик нейрона на выходе получается сигнал в виде серии импульсов постоянной величины, но разной частоты. Таким образом, пороговые нейроны используют совершенно нетривиальный принцип кодирования информации частотой сигнала.

Однако, как и непрерывный выходной сигнал нейронов аналогового типа, изменение частоты несет информацию только о величине входного сигнала, меняющейся непрерывно. В то же время известно, что животные умеют считать (например, выдавать реакцию только на каждый третий стимул). Естественно предположить, что в нервной системе имеются устройства, которые по-разному реагируют, например, на двукратное воздействие и на однократное. То, что известно о принципах работы нейронов, позволяет утверждать: одиночной нервной клетке такая «простая» с человеческой точки зрения операция, как счет, не под силу. Недостаток места не позволяет нам описать устройство из нескольких нейронов, способное выдавать ответ, например, на каждый второй стимул.

2)    Клетка в числах

К одностороннему (гаплоидному) набору материнских хромосом добавился такой же отцовский набор. Простейший пример па сложение: один плюс один. Но с него начинается возрастающая геометрическая прогрессия — цепная реакция делений клетки-прародительницы. Сумма ее потомков зависит, по известной формуле, от знаменателя прогрессии, а в переводе на биологический язык — от темпа делений. Для того чтобы произошло очередное деление, клетка должна удвоить количество ядерной ДНК. Иначе говоря, скорость счета задается концентрацией ферментов, регулирующих скорость тиражирования (репликации) ДНК.

Попробуем представить себе работу воображаемого вычислительно программирующего     устройства, управляющего ростом зародыша. Сначала на стадии бластулы появляются отделы, которые условно можно обозначить как верхний и нижний, правый и левый. Они зеркально симметричны. Бластулу сменяет гастула — образуется шар из клеток. И тут наступает первая «катастрофа». Этот не слишком удачный, но уже прижившийся термин обозначает нарушение симметрии. Внутренняя программа генетического развития срабатывает таким образом, что дальнейшее разбухание шара — нарастание массы одинаковых клеток — приостанавливается. Но в отдельных участках деление продолжается — оно становится ассиметричным. Прежде клетки зародыша были все на одно лицо. Теперь начинается их дифференцировка.

На этом стоит остановиться подробнее, потому что суть процесса, по-видимому, одинакова, идет ли речь о закладке первичной трубки или об «отделочных работах», к которым можно отнести закладку боковых придатков.    В результате нескольких асимметричных делений накапливаются группы клеток с особым пространственным расположением и собственным темпом счета (размножения). Почему это происходит? Об этом можно высказываться лишь предположительно. Полагают, что гены сами по себе не предопределяют пространственное построение зародыша. То есть они задают лишь общий план, замысел, « а не конкретный макет будущего здания. В самой общей форме схема дифференцировки (возникновения катастроф) может быть представлена так. Открытые (активированные) гены обеспечивают синтез нескольких активных белков-организаторов. В свою очередь белки способны активизировать (открыть) гены, ответственные за последующие организаторы, и т. д. Предположим, что эти вещества-организаторы имеют различные коэффициенты диффузии (вполне правдоподобное допущение). При достижении определенной концентрации такого вещества наступает критическое состояние, когда появляется    новая    асимметрия.

Другими словами — если вернуться к нашей вычислительной машине—мы получаем приблизительно такую программу: решение первое (организатор № 1) дает 10 последовательных делений — образуется 210 клеток. Они составляют «критическую массу». Катастрофа. Асимметричное деление в новом пространственном положении включает организатор № 2. Далее происходит, скажем, девять симметричных делений, дающих новую «критическую массу», из которой формируется гребень, уплотнение, тяж...

Например, на руке у человека пять пальцев. Каким образом эмбрион считает до пяти? На самом деле он считает не до пяти, а до двух. Сначала два симметричных «рукава». Это так называемый креод, или канал развития будущих рук.

Креод можно образно назвать судьбой         недифференцированной клетки: очутившись в некоторой пространственной ситуации, клетка под действием организаторов почти неотвратимо следует   своему   предназначению — кладет начало определенному органу. Происходит это вот как. В определенный момент своего развития креод плечевой кости терпит катастрофу — образуется гребень, который разграничивает зачаток руки на два субкреода. Это зачатки будущих костей предплечья — локтевой и лучевой.

Если почему-либо процесс счета на этом оборвется, может родиться ребенок с врожденным дефектом — так называемой клешневидной рукой. Нормальную работу «вычислительной машины» нарушает постороннее вмешательство — сюрприз вне программы. Его может преподнести попавшее извне мутагенное химическое вещество, искажающее генетическую программу, или, например, вирус краснухи — хорошо известная причина врожденных уродств. В норме, однако, за первым счетом до двух следует второй, тоже до двух — новое разделение субкреодов на два дочерних зачатка. После этого должна наступить катастрофа — асимметричное деление в одном из зачатков; в итоге получится искомое число 5. Если же деление произойдет симметрично, то будет не пять пальцев, а шесть. Известно, что шестипалость наследуется. То есть в некоторых случаях вычислительная машина дает систематическую и притом всегда двустороннюю (на обеих руках) ошибку.

Известны и другие варианты живой арифметики. Например, деление первичной нервной трубки на 32—35 сегментов — будущих позвонков. При таких относительно больших числах возможна ошибка на две-три единицы за счет копчика — рудиментарного хвоста. Фактически счет прерывается, когда иссякают организаторы, т. е. с момента, когда генетический план оказывается полностью реализованным. Словно некий прораб окидывает взглядом готовое здание, сверяет его с чертежом и убеждается, что все этажи на месте. А что будет, если уже возведенную постройку частично разобрать? Эксперименты такого рода провел на некоторых кольчатых червях Б. Момент. Он отсекал от червя несколько сегментов, и каждый раз регенерировало ровно столько сегментов, сколько их недоставало. Каждый раз восстанавливался стандарт — 22 сегмента. Значит, вычислительное устройство функционирует и во взрослом организме.

3)    Глаза и логарифмы

Зрительные рецепторы, так же, как и другие — слуховые, температурные и т. д., получают сигналы из внешнего мира; они должны передать зрительную информацию в мозг точно и своевременно. Передача сигналов от глаза к мозгу осуществляется нейронами «порогового» типа—аналоговый способ оказывается неприменимым при передаче сигналов на достаточно большие расстояния. А у пороговых нейронов, как уже говорилось, все импульсы совершенно одинаковы, и сведения о величине входного сигнала эти нейроны передают меняя частоту импульсации.

Тут возникает вот какая проблема. Освещенность в сумерках, когда предметы еле видны, отличается от освещенности при ярком солнечном свете примерно в миллиард (т. е. в 109) раз. Максимальная же частота, с которой может работать нейрон — 1000 импульсов в секунду. Легко сообразить, что нельзя передавать информацию, меняя частоту работы нейрона пропорционально освещенности: если при ярком свете частота импульсов будет максимальной (1000 имп/с), то при уменьшении освещенности в миллион раз сигнал будет поступать всего один раз в 15 минут. Но за это время он совершенно потеряет свою актуальность!

Но может быть, разумно такое устройство зрительной системы, когда разные ее элементы, разные нейроны работают каждый в своем диапазоне освещенности: одни в сумерки, другие в пасмурный день, третьи на ярком солнце. Простой подсчет показывает, что если принять за нижнюю границу частоты работы нейрона, необходимой для достаточно своевременной передачи информации, 1 имп/с, то для охвата диапазона изменения освещенности в миллиард раз потребуется миллион нейронов — и это без всякого «запаса» прочности, без дублирования их работы! Но главное вот что: в каждый момент будет работать только одна клетка из миллиона, а остальные 999 999 будут «даром есть хлеб»: ведь в отличие от технических, живые «механизмы» потребляют энергию (свой «бензин») не только во время работы. А экономия энергии в живой природе — одно из главных условий выживания.

Итак, линейная зависимость между входными и выходными сигналами в случае глаза оказывается нецелесообразной. И действительно, в природе в этом случае используется другая функция, по школьным меркам довольно сложная.

Экспериментально это было установлено в 1932 году английским ученым X. Харлайном. На рисунке 1 приведены результаты его исследования. Он регистрировал нервные импульсы, идущие по одиночному нервному волокну от глаза к мозгу, у мечехвоста (морского членистоногого, похожего на вымерших трилобитов. На графике показана зависимость частоты импульсации от яркости света.

«Но позвольте! — скажете вы.— На графике прямая линия — значит, это линейная функция» Не торопитесь, вглядитесь в шкалу на горизонтальной оси, она ведь неравномерна, нелинейна: при сдвиге на одно деление аргумент (яркость) меняется не на одну и ту же величину, а в одно и то же число раз.

При линейной зависимости равным приращениям аргумента соответствуют равные приращения функции, или, что то же самое, линейная зависимость переводит арифметическую прогрессию значений аргумента в арифметическую же прогрессию значений функции. Когда мы имеем дело с показательной функцией у = ах, то равным приращениям аргумента соответствует равномерный относительный прирост функции. Например, при постоянных условиях обитания и неограниченных ресурсах так растет численность какой-либо популяции: число особей за каждый год увеличивается на 10 %, т. е. в 1,1 раза. Другими словами, показательная функция «переводит» арифметическую прогрессию в геометрическую. На нашем графике ситуация обратная: частота импульсации нейрона меняется на одну и ту же величину, когда воздействие меняется в одно и то же число раз. Значит, мы имеем дело с функцией, обратной к показательной, т. е. с логарифмической; иными словами, нейроны глаза мечехвоста превращают геометрическую прогрессию раздражений в арифметическую прогрессию сигналов.

Это свойство зрительных рецепторов,    выработавшееся в ходе эволюции, позволяет глазу работать эффективно и экономно, обеспечивает возможность хорошо воспринимать контраст. Пусть светлый и темный предметы различаются по способности отражать свет в десять раз. Тогда и на ярком солнце, и в сумерках светлый предмет будет отражать в десять раз больше света, чем темный. Поэтому сравнительная яркость этих предметов не меняется; не меняется и расстояние между соответствующими точками на оси абсцисс. А это означает, что разница частот работы рецепторов, на которые падает свет от этих двух предметов, будет оставаться неизменной при разных освещенностях. Так что «умение логарифмировать» позволяет глазу не только работать в широком диапазоне освещенностей, но и при малой освещенности различать предметы, абсолютная разность освещенностей которых очень мала.

Интересно, что описанная зависимость между внешним сигналом (раздражением) и сигналом, воспринимаемым мозгом (ощущением), первоначально была обнаружена психологами. Сделал это французский ученый П. Бугер еще в XVIII веке. В начале XIX века немецкий физиолог и психолог Э. Вебер детально изучил связь между раздражением и ощущением. Он выяснял, как нужно изменить какой-то раздражитель, чтобы человек заметил это изменение. Оказалось, отношение изменения величины раздражителя к его первоначальному значению   есть   величина    постоянная:  I — мера раздражителя, ∆I — прирост раздражителя,  k — константа Вебера.

Страницы: 1, 2, 3