Разработка и исследование модели отражателя-модулятора (WinWord zip-1Mb)

частотах.

3 Нахождение коэффициентов схемной функции

Нахождение коэффициентов схемной функции проводилось с использованием

математического пакета MathCAD 7.0 Profeessional. Этот программный продукт

имеет широкие возможности аналитической математики (в MathCAD она

называется символьной), которая позволяет решать системы уравнений

аналитическим путём, т.е. выдаёт конкретную формулу для нахождения

переменной.

В ПРИЛОЖЕНИИ 1 приводятся формулы, которые были получены при помощи

MathCAD, конечно же, они на первый взгляд выглядят громоздкими, но зато

позволяют нам найти коэффициенты для любой совокупности реактивных и

активных составляющих, не прибегая к численным методам.

Более того, эти формулы можно использовать для моделирования вибратора

при помощи пользовательских программ, что является огромным «плюсом» в

области исследований.

Ниже будет рассказано о том, как формулы для нахождения коэффициентов

полинома использовались для моделирования всего отражателя – модулятора.

4 Синтез электрической цепи

Пока не существует канонического метода для синтеза эквивалентной

электрической RLC-цепи по заданной схемной функции (полного входного

сопротивления в нашем случае) без использования «идеального»

трансформатора, поэтому мною предложен следующий «эвристический» метод

синтеза схемного эквивалента вибратора. Идея метода заключена в том, чтобы

последовательно в «бесконечности» выделять эквивалентное RL-сопротивление

или RC-проводимость, при проведении этой процедуры получается разложение

схемной функции цепи в цепную дробь. Таким образом, получаем лестничную

цепь, у которой в продольных «ветвях» находятся индуктивность и

сопротивление, в поперечных – ёмкость и проводимость. Ещё раз хочу

отметить, что подобный подход строго не обоснован с точки зрения

математики, а является эвристическим. Автору пришлось просидеть не мало

часов за листами бумаги, рисуя различные схемы, выводя их схемные функции,

синтезируя их этим методом, и, потом, у полученных схем снова выводить

выражение для полного сопротивления. И ни разу этот метод не подвёл, т.е.

всегда синтезированные схемы имели положительные номиналы элементов.

Впрочем, для моделирования при помощи ЭВМ не требуется положительность этих

номиналов, это требуется только при натурном моделировании, и то, в

некоторых случаях, отрицательные параметры элементов удаётся реализовать

при помощи специальных устройств. Для доказательства справедливости этого

метода, необходимо показать, что при условии положительности и

вещественности исходной схемной функции, она раскладывается в цепную дробь,

причём на каждом шаге мы получаем полином первой степени с положительными

коэффициентами и рациональную дробь, обладающую свойством положительности

вещественности. При моделировании на компьютере, если графики активного и

реактивного сопротивления модели вибратора качественно были такими же, что

и экспериментальные, то синтезированная цепь имела положительные номиналы

своих элементов.

2 Составление математической модели модулирующей части

Из рис. 3.1 – 3.3 видно, что модулирующая часть состоит в общем случае

из RСОГЛ, LСОГЛ, CСОГЛ, источников смещения и модулирующего напряжения и

нелинейного элемента.

Все эти элементы легко реализуются при помощи ЭВМ, и не представляется

особой сложности для составления их дискретной модели. Параметры же

нелинейных элементов вычисляются в конце шага, в соответствии с

выражениями, приведёнными в главе 2.4 и 2.5, и на протяжении всего

следующего шага считаются постоянными.

3 Построение общей математической модели отражателя – модулятора

При переходе от непрерывной модели элементов к дискретной

использовался метод Тастина, с которым можно познакомиться в [2], [6] и

[9], причём согласующая ёмкость была введена в модель вибратора.

Коэффициенты схемной дискретной функции для реализации этого метода были

получены при помощи математического пакета MathCAD 7.0 Professional.

Для нахождения параметров модуляции нам необходимо знать ток в

эквиваленте симметричного вибратора. Для этого мы должны определить

напряжение на нелинейном элементе, затем, зная разность потенциалов,

приложенную к зажимам модели вибратора, мы можем определить ток в ней. Для

этого реализуем следующую схему работы алгоритма моделирования:

o на первом шаге напряжение на нелинейном элементе приравниваем напряжению

смещения;

o определяем ток в модели вибратора (согласующей ёмкости) и ток в

согласующей катушке индуктивности;

o находим ток в нелинейном элементе;

o определяем напряжение на нелинейном элементе;

o вычисляем параметр нелинейного элемента (напряжение - для диода, ёмкость

– для варикапа);

o переходим на новый шаг;

Именно эта схема работы заложена в моделирующую программу. Как будет

показано ниже, она приведёт нас к хорошим результатам.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДУЛЯТОРА НА ДИОДЕ

Поставленная задача анализа относится к классу нелинейных задач

электродинамики, и её решение требует наличие достаточно мощных

вычислительных средств. В то же время существует ряд приближённых методов

анализа, позволяющих найти приемлемое решение, не прибегая к значительным

затратам физического и машинного времени. Одним из них является

квазилинейный метод, обычно применяемый для анализа нелинейных цепей при

квазигармоническом характере протекающих в них токах и напряжениях [5],

[7].

Суть метода заключается в том, что при определённых условиях ток или

напряжение в нелинейной цепи может считаться периодическим процессом. В

радиотехнических цепях основанием для такого допущения является наличие

колебательных цепей в составе анализируемой цепи или системы. Периодический

характер процесса, например тока в нелинейной цепи, позволяет представить

его разложением в ряд Фурье:

i(t)=I0+I1cos((0t+(0)+I2cos(2(0t+2(0)+…,

(4.1)

где Ik – амплитуда k- ой гармоники тока;

I0 – постоянная составляющая;

(0 – частота первой гармоники;

(0 – её начальная фаза.

Полагая, что ток вызывается некоторым воздействием, например,

напряжением

U(t)=U0cos((0t+(0),

(4.2)

можно записать между амплитудами воздействия и отклика в виде:

Ik(U0)=Yk(U0)U0,

(4.3)

где Yk(U0) – проводимость нелинейной цепи по k – ой гармонике,

зависящая от амплитуды воздействия.

Подобная зависимость может быть записаны и для постоянной

составляющей, и для амплитуды какой-либо высшей гармоники. При этом

зависимость проводимости от амплитуды воздействия, естественно, выражается

другой функцией. Если фазовый сдвиг тока не совпадает с фазовым сдвигом

входного напряжения (цепь является инерционной), то проводимость,

связывающая комплексные амплитуды тока и напряжения, также является

комплексной.

Таким образом, наличие нелинейного элемента («безынерционного»

полупроводникового диода или варикапа) в составе модулятора – отражателя

может быть учтено применением квазилинейного метода.

Основная задача расчёта – анализ тока в схемном эквиваленте вибратора,

к которому последовательно подключён диод, а на диод подано модулирующее

напряжение (рис 3.1). Это необходимо для определения параметров модуляции

тока вибратора и создаваемого им поля в точке приёма.

В цепи действуют три источника напряжения – ЭДС высокочастотного

колебания Е1, навязанного внешним полем, ЭДС модулирующего процесса UМОД и

постоянная ЭДС смещения ЕСМ. Значения параметров ЭДС модулирующего процесса

UМОД и смещения ЕСМ определяются внешними источниками соответствующих

напряжений. Амплитуда Е0 гармонической ЭДС Е1=Е0cos((0t+(0) может быть

рассчитана по формуле:

[pic] (4.4)

где hД – действующая высота вибратора;

PT,GT – мощность передатчика и коэффициент направленного действия

его антенны;

W=120( - волновое сопротивление свободного пространства;

R – расстояние от передатчика до вибратора;

[pic] - отношение потоков мощности поступающего на экран сигнала и

сигнала, прошедшего через экран – коэффициент экранировки.

Равенство (4.4) предполагает нахождение точки приёма в дальней зоне,

хотя в реальном случае она может находиться и в ближней зоне. Очевидно, что

для ближней зоны равенство (4.4) не справедливо. Для полуволнового

вибратора действующая высота равна [pic], где ( - длина волны.

Мощность передатчика, излучающего зондирующий сигнал, в (4.4) берётся

в ваттах, тогда результат выражается в вольтах.

В качестве примера рассчитаем значение амплитуды наведённой ЭДС при

облучении вибратора сигналом передатчика с расстояния R, при напряжение

(=0,3м, мощности РТ=1Вт и РТ=4Вт, КЭ=GT=1.

[pic]

Рис.4.1. Зависимость амплитуды Е0, ЭДС высокочастотного колебания Е1,

навязанного внешним полем, от расстояния R.

При R=10м и РТ=1Вт Е0=0,074В. Приведённый пример показывает, что

амплитуда наведённой ЭДС невелика, и при не больших значениях UМОД возможна

аппроксимация вольтамперной характеристики диода полиномом четвертого

порядка:

i(t)(a1U(t)+a2U 2(t)+a3U 3(t)+a4U 4(t),

(4.5)

где a1, a2, a3, a4 – коэффициенты аппроксимирующего полинома;

U(t) – напряжение на диоде.

Применяя квазилинейный метод, полагаем

U(t)=ЕСМ+UМОД(t)+Е0cos((0t)

(4.6)

и находим значения для токов второй и третей гармоники:

[pic], (4.7)

[pic], (4.8)

где U-=ЕСМ+UМОД(t).

Дальнейшее выделение из (4.7) и (4.8) коэффициента модуляции М даёт

следующий результат:

[pic], (4.9)

[pic], (4.10)

где

[pic], (4.11)

[pic], (4.12)

[pic],

(4.13)

М2 – коэффициент модуляции для тока второй гармоники;

М3 – коэффициент модуляции для тока третей гармоники;

(2 – относительный уровень нелинейности М2;

UM – амплитуда (половина размаха) модулирующего процесса.

Как видно из (4.11) и (4.13), коэффициенты модуляции зависят линейно

от амплитуды модулирующего колебания. Кроме того, коэффициент модуляции

тока второй гармоники имеет нелинейные искажения, отражённые в (2. Эти

искажения присутствуют принципиально в любом случае, у нас они появились

только для второй гармоники из-за того, что мы ограничились четвёртой

степенью полинома при аппроксимации зависимости тока от напряжения в

нелинейном элементе. При увеличении порядка аппроксимирующего полинома

нелинейные искажения появятся и в коэффициенте модуляции для тока третей

гармоники. Правда, необходимо отметить, что в нашей задаче уровни сигналов

незначительны, поэтому аппроксимация степенным рядом четвёртого порядка

соответствует хорошей степени приближения.

Для обеспечения оптимальной работы системы необходимо решить задачу

оптимизации, которая заключается в максимизации коэффициентов модуляции при

заданном уровне нелинейных искажений (в нашем случае уровень нелинейных

искажений пропорционален амплитуде модулирующего колебания) и при условии

согласования вибратора на частоте зондирующего колебания (см. главу 1.1).

Ясно, что при прочих равных условиях, увеличение одного коэффициента

модуляции приведёт к уменьшению второго, поэтому нужно выбрать оптимальное

соотношение между коэффициентами модуляции второй и третей гармоники.

Для примерной количественной оценки коэффициентов модуляции рассчитаем

их на примере конкретного диода. В качестве диода возьмём арсенид галевый

высокочастотный диод, вольтамперная характеристика которого записана в

виде:

i=I0(eau-1), (4.14)

где I0 (4,5(10-8А, а=20В-1.

Разлагая (4.14) в ряд Маклорена и ограничиваясь четвёртой степенью,

можно получить:

[pic], (4.15)

Сопоставляя выражения (4.15) и (4.5), и подставляя значения для а,

получим a1=9(10-7(А/В), a2=9(10-6(А/В2), a3=6(10-5(А/В3), a4=3(10-4(А/В4).

Теперь необходимо подобрать смещение диода таким образом, чтобы

дифференциальное сопротивление диода в рабочей точке было равно

сопротивлению вибратора на частоте зондирующего сигнала. Из курса “Теория

радиотехнических сигналов и цепей” известно, что дифференциальное

сопротивление определяется значением производной функции напряжения от

тока. В нашем случае известна обратная функция (зависимость тока от

напряжения), поэтому мы можем найти дифференциальную проводимость. Возьмём

производную от выражения (4.14) по напряжению, получим:

YДИФ=a(I0((eau,

(4.16)

Выразим из (4.16) u и вместо подставим ЕСМ, тогда получится следующее

выражение для ЕСМ:

[pic],

(4.17а)

или

[pic], (4.17б)

Подставляя значения для а и RДИФ=75Ом в (4.17б), получим ЕСМ(0,48В.

Далее, задаваясь допустимым уровнем нелинейных искажений, найдём

значение для амплитуды UM из (4.12). Возьмём коэффициент модуляции 20%, а

уровень нелинейных искажений 10%, тогда получим значение для амплитуды

модулирующего напряжения равного:

[pic], (4.18)

Затем, используя выражение (4.11), выражаем и находим Е0, которое

задаёт требования к передающему устройству (его место положение,

расстояние, мощность и т.п.). Эти требования выбираются согласно (4.4). В

нашем случае Е0(1,34(В).

Исходя из анализа, проведённого в этом разделе, можно сделать

следующие выводы:

> использовать полупроводниковый диод в качестве нелинейного элемента в

отражателе – модуляторе с энергетической точки зрения выгодно, что

связано с незначительными энергетическими затратами на источник смещения

(РСМ(0,3мВт) и на источник модулирующего напряжения (РМОД(0,2мВт);

> увеличение коэффициента модуляции за счёт уменьшения уровня зондируемого

сигнала, повлечёт за собой уменьшение уровня отражённого сигнала, что в

некоторых случаях недопустимо;

> увеличение коэффициента модуляции за счёт увеличения амплитуды

модулирующего напряжения приведёт к прямо пропорциональному увеличению

уровня нелинейных искажений;

> произведение требуемой мощности и коэффициента направленного действия

зондирующей антенны должно быть порядка десятков тысяч для расстояния

порядка сотни метров;

В разделе приведена примерная методика расчёта отражателя-модулятора,

некоторые её этапы могут быть выполнены другими методами и в другом

порядке.

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВА НА ПЭВМ

Для моделирования отражателя – модулятора используется компьютер IBM

PC класса Pentium-166 64Мб ОЗУ. В качестве языка программирования выбран

язык С++, реализованный в программном продукте фирмы «Microsoft» Visual C++

5.0. Данное программное обеспечение позволяет создавать качественные

мультимедийные и быстрые математические приложения. При моделировании

широко использовались знания, полученные в курсе «Цифровое моделирование

радиоэлектронных систем», всё моделирование построено на навыках,

полученных в этом курсе.

1 Исходные данные для программы

Исходные данные для программы разбиты на три основные группы:

> Параметры вибратора. В этой группе вводятся активные и реактивные

составляющие сопротивления вибратора на трёх кратных частотах

(всего должно быть введено шесть), а также значение частоты

зондирования (частота, на которой вибратор является полуволновым).

> Параметры сигналов (зондирующего и модулирующего), напряжение

смещения. Вводится либо выражение для сигнала (модулирующего и

зондирующего), либо параметры гармонического колебания (амплитуда,

частота фаза), кроме того, вводится число отсчётов на периоде

высокочастотного сигнала, и число периодов модулирующего напряжения

для расчёта (общее число точек расчёта равно произведению

последнего параметра на отношение частот высокочастотного и

модулирующего колебаний);

> Параметры модулирующей части. В этой группе вводятся параметры

диода, варикапа, а также согласующих элементов. Кроме того, в этой

же группе выбирается метод расчёта.

Для диода вводятся тепловой ток, коэффициент, обратно

пропорциональный контактной разности потенциалов, и сопротивление

базы (используется для варикапа в первой его реализации).

Для варикапа задаётся контактная разность потенциалов, ёмкость при

Страницы: 1, 2, 3, 4