Нахождение кратчайшего пути

тогда d (s, v) - расстоянию от s до v.

Заметим, что для того чтобы определить расстояние от s до t, мы

вычисляем здесь расстояния от s до всех вершин графа.

Не известен ни один алгоритм нахождения расстояния между двумя

фиксированными вершинами, который был бы существенным образом более

эффективным, нежели известные алгоритмы определения расстояния от

фиксированной вершины до всех остальных.

Описанная общая схема является неполной, так как она не определяет

очередности, в которой выбираются вершины u и v для проверки условия

минимальности расстояния. Эта очередности, как будет показано ниже, очень

сильно влияет на эффективность алгоритма. Опишем теперь более детально

методы нахождения расстояния от фиксированной вершины, называемой

источником, его всегда будем обозначать через s, до всех остальных вершин

графа.

Сначала представим алгоритм для общего случая, в котором

предполагается только отсутствие контуров с отрицательной длиной. С эти

алгоритмом обычно связывают имена Л.Р. Форда и Р.Е. Беллмана.

3. Программа определения кратчайшего пути в графе

1 3.1. Язык программирования Delphi.

Delphi - язык и среда программирования, относящаяся к классу RAD-

(Rapid Application Development - «Средство быстрой разработки приложений»)

средств CASE - технологии. Delphi сделала разработку мощных приложений

Windows быстрым процессом, доставляющим вам удовольствие. Приложения

Windows, для создания которых требовалось большое количество человеческих

усилий например в С++, теперь могут быть написаны одним человеком,

использующим Delphi.

Интерфейс Windows обеспечивает полное перенесение CASE-технологий в

интегрированную систему поддержки работ по созданию прикладной системы на

всех фазах жизненного цикла работы и проектирования системы.

Delphi обладает широким набором возможностей, начиная от

проектировщика форм и кончая поддержкой всех форматов популярных баз

данных. Среда устраняет необходимость программировать такие компоненты

Windows общего назначения, как метки, пиктограммы и даже диалоговые панели.

Работая в Windows , вы неоднократно видели одинаковые «объекты» во многих

разнообразных приложениях. Диалоговые панели (например Choose File и Save

File) являются примерами многократно используемых компонентов, встроенных

непосредственно в Delphi, который позволяет приспособить эти компоненты к

имеющийся задаче, чтобы они работали именно так, как требуется создаваемому

приложению. Также здесь имеются предварительно определенные визуальные и не

визуальные объекты, включая кнопки, объекты с данными, меню и уже

построенные диалоговые панели. С помощью этих объектов можно, например,

обеспечить ввод данных просто несколькими нажатиями кнопок мыши, не

прибегая к программированию. Это наглядная реализация применений CASE-

технологий в современном программировании приложений. Та часть, которая

непосредственно связана с программированием интерфейса пользователя

системой получила название визуальное программирование

Визуальное программирование как бы добавляет новое измерение при

создании создании приложений, давая возможность изображать эти объекты на

экране монитора до выполнения самой программы. Без визуального

программирования процесс отображения требует написания фрагмента кода,

создающего и настающего объект «по месту». Увидеть закодированные объекты

было возможно только в ходе исполнения программы. При таком подходе

достижение того, чтобы объекты выглядели и вели себя заданным образом,

становится утомительным процессом, который требует неоднократных

исправлений программного кода с последующей прогонкой программы и

наблюдения за тем, что в итоге получилось.

Благодаря средствам визуальной разработки можно работать с объектами,

держа их перед глазами и получая результаты практически сразу. Способность

видеть объекты такими, какими они появляются в ходе исполнения программы,

снимает необходимость проведения множества операций вручную, что характерно

для работы в среде не обладающей визуальными средствами — вне зависимости

от того, является она объектно-ориентированной или нет. После того, как

объект помещен в форму среды визуального программирования, все его атрибуты

сразу отображаются в виде кода, который соответствует объекту как единице,

исполняемой в ходе работы программы.

Размещение объектов в Delphi связано с более тесными отношениями

между объектами и реальным программным кодом. Объекты помещаются в вашу

форму, при этом код, отвечающий объектам, автоматически записывается в

исходный файл. Этот код компилируется, обеспечивая существенно более

высокую производительность, чем визуальная среда, которая интерпретирует

информацию лишь в ходе исполнения программы.

1 3.2. Программа «Определение кратчайшего пути в графе»

Программа «Определение кратчайшего пути в графе» разработана в среде

«Delphi», работает под ОС «Windows»-95,98,2000,NT.

Программа позволяет вводить, редактировать, сохранять графы в файл,

загружать из файла. Также реализован алгоритм нахождения кратчайшего пути.

Интерфейс программы имеет следующий вид:

[pic]

Верхняя панель кнопок предназначена для редактирования графа.

Кнопка «Загрузить» [pic] предназначена для загрузки ранее

сохраненного графа из файла.

Кнопка «Сохранить» [pic] предназначена для сохранения графа в файл.

Кнопка «Переместить» [pic] предназначена для перемещения вершин

графа.

Кнопка «Удалить» [pic] предназначена для удаления вершин графа.

При нажатии на кнопку «Новый» [pic] рабочее поле программы будет

очищено и появится возможность ввода нового графа.

Кнопка «Помощь» [pic] вызывает помощь программы.

Для очистки результатов работы алгоритма определения кратчайшего пути

в графе необходимо нажать кнопку «Обновить» [pic].

При нажатии на кнопку «Настройки» [pic] на экране появится окно, в

котором можно настроить параметры сетки рабочего поля программы и цвета

вводимого графа.

Окно настроек выглядит следующим образом:

[pic]

Нижняя панель кнопок предназначена для установки параметров ввода и

запуска алгоритма определения кратчайшего пути в графе. Данная панель

состоит из четырех кнопок:

При включенной кнопке «Показывать сетку» [pic] отображается сетка для

удобства ввода вершин.

Для автоматического ввода длины ребра графа необходимо нажать кнопку

[pic].

При включенной кнопке «Выравнивать по сетке» [pic] новые вершины

будут автоматически выравниваться по координатной сетке.

Если выбрать две различные вершины (щелчком левой кнопки мыши) и

нажать на кнопку [pic], то программа найдет кратчайший путь между

вершинами.

Алгоритм определения кратчайшего пути между вершинами графа описан

следующим модулем программы:

unit MinLength;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Dialogs,

StdCtrls,IO,Data,AbstractAlgorithmUnit;

type

TMinLength = class(TAbstractAlgorithm)

private

StartPoint:integer;

EndPoint:integer;

First:Boolean;

Lymbda:array of integer;

function Proverka:Boolean;

public

procedure Make;

end;

var

MyMinLength: TMinLength;

implementation

uses MainUnit, Setting;

procedure TMinLength.Make;

var i ,j : integer;

PathPlace,TempPoint:Integer;

flag:boolean;

begin

with MyData do begin

StartPoint:=MyIO.FirstPoint;

EndPoint:=MyIO.LastPoint;

SetLength(Lymbda,Dimension+1);

SetLength(Path,Dimension+1);

for i:=1 to Dimension do

Lymbda[i]:=100000;

Lymbda[StartPoint]:=0;

repeat

for i:=1 to Dimension do

for j:=1 to Dimension do

if Matrix[i,j]=1 then

if ( ( Lymbda[j]-Lymbda[i] ) >

MatrixLength[j,i] )

then Lymbda[j]:=Lymbda[i] + MatrixLength[j,i];

until Proverka ;

Path[1]:= EndPoint ;

j:=1;

PathPlace:=2;

repeat

TempPoint:=1;

Flag:=False;

repeat

if ( Matrix[ Path[ PathPlace-1 ],TempPoint] =1 )and (

Lymbda[ Path[ PathPlace-1] ] =

( Lymbda[TempPoint] + MatrixLength[ Path[PathPlace-

1 ], TempPoint] ) )

then Flag:=True

else Inc( TempPoint );

until Flag;

Path[ PathPlace ]:=TempPoint;

inc( PathPlace );

MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-2 ],Path[ PathPlace

-1],true);

// ShowMessage('f');

until(Path[ PathPlace - 1 ] = StartPoint);

// MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-1 ],Path[ PathPlace

],true);

end;

end;

function TMinLength.Proverka:Boolean;

var i,j:integer;

Flag:boolean;

begin

i:=1;

Flag:=False;

With MyData do begin

repeat

j:=1;

repeat

if Matrix[i,j]=1 then

if ( Lymbda[j]-Lymbda[i] )>MatrixLength[j,i]then

Flag:=True;

inc(j);

until(j>Dimension)or(Flag);

inc(i);

until(i>Dimension)or(Flag);

Result:=not Flag;

end;

end;

end.

Рабочее поле программы предназначено для визуального ввода графов.

Рабочее поле с введенным графом выглядит следующим образом:

[pic]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория графов находит широкое применение в различных областях науки и

техники:

Графы и информация

Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации.

Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде

конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц.

Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором

средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями

вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить

алгоритм Хаффмана.

Двоичные кодовые деревья допускают интерпретацию в рамках теории

поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который

можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу

соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда

удается установить то, что требовалось.

Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у различных

людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного

ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в

виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или

предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

CnH2n+2

Молекула каждого предельного углеводорода представляет собой дерево.

Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также

будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень не выше 4.

Следовательно, число возможных структур предельных углеводородов, т. е.

число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени

не больше четырех.

Таким образом, подсчет числа гомологов предельных углеводородов также

приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и

ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.

Графы и биология

Деревья играют большую роль в биологической теории ветвящихся

процессов. Для простоты мы рассмотрим только одну разновидность ветвящихся

процессов – размножение бактерий. Предположим, что через определенный

промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо

погибает. Тогда для потомства одной бактерии мы получим двоичное дерево.

Нас будет интересовать лишь один вопрос: в скольких случаях n-е

поколение одной бактерии насчитывает ровно k потомков? Рекуррентное

соотношение, обозначающее число необходимых случаев, известно в биологии

под названием процесса Гальтона-Ватсона. Его можно рассматривать как

частный случай многих общих формул.

Графы и физика

Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для

радиолюбителей было конструирование печатных схем.

Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика

(изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок

вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных

точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы

и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической

цепи.

В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с

вершинами в указанных точках.

Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая

ценность теории графов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.

2. Новые педагогические и информационные технологии Е.С.Полат, Москва,

«Akademia» 1999 г.

3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для

инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

4. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.

5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М.:

Издательство МАИ, 1992.

6. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.

7. Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. Матеpиалы к пpактическим занятиям по

куpсу: Дискpетная математика по теме: Алгоpитмы на гpафах. - М.: МГТУ,

1995

8. Смольяков Э.Р. Введение в теоpию гpафов. М.: МГТУ, 1992

9. Hечепуpенко М.И. Алгоpитмы и пpогpаммы pешения задач на гpафах и сетях.

- Hовосибиpск: Hаука, 1990

10. Романовский И.В. Алгоpитмы pешения экстpемальных задач. - М.: Hаука,

1977

11. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988

12. Севастьянов Б.А. Вероятностные модели. - М.: Наука, 1992

13. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. - М.: Изд-во РУДН,

1994

ПРИЛОЖЕНИЕ

1 Текст программы определения кратчайшего пути в графе

Модуль управления интерфейсом программы:

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

StdCtrls,PaintingGraph, ComCtrls, ToolWin, ImgList, Menus,

ActnList, ExtCtrls;

const

crMyCursor = 5;

type

TForm1 = class(TForm)

SaveDialog1: TSaveDialog;

OpenDialog1: TOpenDialog;

ImageList1: TImageList;

ImageList2: TImageList;

LoadMenu: TPopupMenu;

ControlBar1: TControlBar;

ToolBar3: TToolBar;

OpenButton: TToolButton;

SaveButton: TToolButton;

ToolButton15: TToolButton;

ClearButton: TToolButton;

UpdateButton: TToolButton;

HelpButton: TToolButton;

ToolButton26: TToolButton;

RemovePointButton: TToolButton;

ToolButton28: TToolButton;

ToolButton32: TToolButton;

SettingButton: TToolButton;

ControlBar2: TControlBar;

AlgoritmToolBar: TToolBar;

KommiTool: TToolButton;

ToolButton: TToolButton;

NotFarButton: TToolButton;

MinLengthButton: TToolButton;

ToolButton5: TToolButton;

MovePointButton: TToolButton;

ActionList1: TActionList;

AShowGrig: TAction;

ASnapToGrid: TAction;

ASave: TAction;

ALoad: TAction;

ADelete: TAction;

GridToolBar: TToolBar;

Clock: TLabel;

Timer1: TTimer;

ShowGridButton: TToolButton;

AutoLengthButton: TToolButton;

SnapToGridButton: TToolButton;

PaintBox1: TPaintBox;

procedure FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure FormPaint(Sender: TObject);

procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

procedure ClearButtonClick(Sender: TObject);

procedure KommiToolButtonClick(Sender: TObject);

procedure PaintingToolButtonClick(Sender: TObject);

Страницы: 1, 2, 3, 4