MathCad

матрицы, типа МI,J:= i +j, используют диапазоны. Диапазон фактически

представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию,

определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон,

следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго

и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при

задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно

использовать как значение переменной, например x:= 0,0.01.. 1.

Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто

нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают.

Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером

6х6, перед этой формулой надо указать

i:= 0..5 j:= 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее

элементам, размеры матрицы можно не задавать заранее. Всем неопределенным

элементам автоматически присваиваются нулевые значения. Например, формула

М5,5:=1 создает матрицу М размером 6х6, у которой все элементы, кроме

расположенного в правом нижнем углу, равны 0.

Стандартные и пользовательские функции

Произвольные зависимости между входными и выходными параметрами задаются

при помощи функций. Функции принимают набор параметров и возвращают

значение, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно

использовать стандартные встроенные функции, а также функции, определенные

пользователем.

Чтобы использовать функцию в выражении, надо определить значения входных

параметров в скобках после имени функции. Имена простейших математических

функций можно ввести с панели инструментов Arithmetic (Счет). Информацию о

других функциях можно почерпнуть в справочной системе. Вставить в выражение

стандартную функцию можно при помощи команды Insert > Function (Вставка >

Функция). В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) слева

выбирается категория, к которой относится функция, а справа — конкретная

функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При

вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и

заполнители для значений параметров.

Пользовательские функции должны быть сначала определены. Определение

задается при помощи оператора присваивания. В левой части указывается имя

пользовательской функции и, в скобках, формальные параметры — переменные,

от которых она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны

использоваться в выражении. При использовании пользовательской функции в

последующих формулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне Insert

Function (Вставка функции) оно не отображается.

Приведем обозначения основных из них:

1. Тригонометрические и обратные функции:

sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z)

z - угол в радианах

2. Гиперболические и обратные функции:

sinh(z), cosh(z), tanh(z), asinh(z), acosh(z), atanh(z)

3. Экспоненциальные и логарифмические:

exp(z) - ez

ln(z) - натуральный логарифм

log(z) - десятичный логарифм

4. Cтатистические функции:

mean(x) - среднее значение

var(x) - дисперсия

stdev(x) - среднеквадратическое отклонение

cnorm(x)- функция нормального рапределения

erf(x) - функция ошибки

Г(x) - гамма-функция Эйлера

5. Функции Бесселя:

J0(x), J1(x), Jn(n,x) - функции Бесселя первого порядка

Y0(x), Y1(x), Yn(n,x) - функции Бесселя второго порядка

6. Функции комплексного переменного:

Re(z) - вещественная часть комплексного числа

Im(z) - мнимая часть комплексного числа

arg(z) - аргумент комплексного числа

7. Преобразование Фурье:

U:=fft(V) - прямое преобразование (V- вещественное)

V:=ifft(U) - обратное преобразование (V- вещественное)

U:=cfft(V) - прямое преобразование (V- комплексное)

V:=icfft(U) - обратное преобразование (V- комплексное)

8. Корреляционная функция - позволяет рассчитывать коэффициент

корреляции двух векторов vx и vy и определить уравнение линейной

регрессии:

corr(vx,vy) - коэффициент корреляции

slope(vx,vy) - коэффициент наклона линии регрессии

intercept(vx,vy) - начальная координата линии регрессии

9. Линейная интерполяция:

linterp(vx,vy,x)

vx,vy- векторы значений аргумента и функций. x- значение аргумента,

для которого проводится интерполяция

10. Функция для определения корней алгебраических и трансцендентных

уравнений:

root(уравнения, переменная) - значение переменной, когда уравнение

равно нулю

11. Датчик случайных чисел:

rnd(x) - случайное число с равномерным распределением от 0 до x

12. Целая часть переменной:

floor(x)- ближайшее наименьшее целое число

ceil(x)- ближайшее наибольшее целое число

13. Выделение остатка:

mod(x,y)- остаток от деления x на y

14. Остановка итерации:

until(x,y) - когда x0. То функция равна 1, иначе 0

17. Логические выражения и операции. Простейшими видами логических

выражений являются следующие: логическая константа, логическая

константа, логическая константа, логическая переменная, выражение

отношения. Например, при x:=0.5 операции отношения присваивают L

истину или ложь (1 или 0):

L := x(1 L=0

L := x(1 L=0

L := x(1 L=0

L := x1 L=0

18. Функции, определяемые пользователем. Пользователь может

самостоятельно определить необходимые ему функции, отсутствующие

среди встроенных функций пакета.

Решение уравнений и систем

Для численного поиска корней уравнения в программе MathCad используется

функция root. Она служит для решения уравнений вида f(x) = 0, где f (х) —

выражение, корни которого нужно найти, a x — неизвестное. Для поиска

корней с помощью функции root, надо присвоить искомой переменной начальное

значение, а затем вычислить корень при помощи вызова функции:

root(f(x),x). Здесь f(x) — функция переменной х, используемой в качестве

второго параметра. Функция root возвращает значение независимой

переменной, обращающее функцию f(x) в 0. Например:

[pic]

Рис.3 Решение уравнений и систем

Если уравнение имеет несколько корней (как в данном примере), то результат,

выдаваемый функцией root, зависит от выбранного начального приближения.

Если надо решить систему уравнений (неравенств), используют так называемый

блок решения, который начинается с ключевого слова given (дано) и

заканчивается вызовом функции find (найти). Между ними располагают

«логические утверждения», задающие ограничения на значения искомых величин,

иными словами, уравнения и неравенства. Всем переменным, используемым для

обозначения неизвестных величин, должны быть заранее присвоены начальные

значения.

Чтобы записать уравнение, в котором утверждается, что левая и правая части

равны, используется знак логического равенства — кнопка Boolean Equals

(Логически равно) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Другие

знаки логических условий также можно найти на этой панели. Заканчивается

блок решения вызовом функции find, у которой в качестве аргументов должны

быть перечислены искомые величины. Эта функция возвращает вектор,

содержащий вычисленные значения неизвестных.

Построение графиков

Чтобы построить двумерный график в координатных осях Х-У, надо дать

команду

Insert> Graph > X-Y Plot (Вставка > График > Декартовы координаты). В

области размещения графика находятся заполнители для указания отображаемых

выражений и диапазона изменения величин. Заполнитель у середины оси

координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой

оси. Обычно используют диапазон или вектор значений. Граничные значения по

осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения

величины, но их можно задать и вручную. В одной графической области можно

построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси

перечислить несколько выражений через запятую. Разные кривые изображаются

разным цветом, а для форматирования графика надо дважды щелкнуть на

области графика. Для управления отображением построенных линий служит

вкладка Traces (Линии) в открывшемся диалоговом окне. Текущий формат

каждой линии приведен в списке, а под списком расположены элементы

управления, позволяющие изменять формат. Поле Legend Label (Описание)

задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка Hide

Legend (Скрыть описание). Список Symbol (Символ) позволяет выбрать маркеры

для отдельных точек, список Line (Тип линии) задает тип линии, список

Color (Цвет) — цвет. Список Type (Тип) определяет способ связи отдельных

точек, а список Width (Толщина) — толщину линии. Точно так же можно

построить и отформатировать график в полярных координатах. Для его

построения надо дать команду Insert > Graph > Polar Plot (Вставка > График

> Полярные координаты). Для построения простейшего трехмерного графика,

необходимо задать матрицу значений. Отобразить эту матрицу можно в виде

поверхности — Insert > Graph > Surface Plot (Вставка > График >

Поверхность), столбчатой диаграммы — Insert > Graph > 3D Bar Plot (Вставка

> График > Столбчатая диаграмма) или линий уровня — Insert > Graph >

Contour Plot (Вставка > График > Линии уровня).

Для отображения векторного поля при помощи команды Insert > Graph >

Vector Field Plot (Вставка > График > Поле векторов) значения матрицы

должны быть комплексными. В этом случае в каждой точке графика отображается

вектор с координатами, равными действительной и мнимой частям элемента

матрицы. Во всех этих случаях после создания области графика необходимо

указать вместо заполнителя имя матрицы, содержащей необходимые значения.

Для построения параметрического точечного графика командой

Insert > Graph > 3D Scatter Plot (Вставка > График > Точки в пространстве)

необходимо задать три вектора с одинаковым числом элементов, которые

соответствуют х-, у- и z-координатам точек, отображаемых на графике. В

области графика эти три вектора указываются внутри скобок через запятую.

Аналогичным образом можно построить поверхность, заданную параметрически.

Для этого надо задать три матрицы, содержащие, соответственно, х-, у- и z-

координаты точек поверхности. Теперь надо дать команду построения

поверхности Insert > Graph >Surface Rot (Вставка > График > Поверхность) и

указать в области графика эти три матрицы в скобках и через запятую. Таким

образом можно построить практически любую криволинейную поверхность, в том

числе с самопересечениями.

[pic]

[pic]

[pic]

Рис.4 Построение графиков.

Аналитические вычисления

С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения

уравнений и систем, а также проводят преобразования сложных выражений

(например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить

нечисловой результат. В программе MathCad конкретные значения, присвоенные

переменным, при этом

игнорируются — переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в

меню Symbolics (Аналитические вычисления). Чтобы упростить выражение (или

часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать

команду Symbolics > Simplify (Аналитические вычисления > Упростить). При

этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и

приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества,

упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и

обратную функции (типа eInx). Некоторые действия по раскрытию скобок и

упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды

Symbolics > Expand (Аналитические вычисления > Раскрыть). Команду Symbolics

> Simplify (Аналитические вычисления > Упростить) применяют и в более

сложных случаях. Например, с ее помощью можно:

. вычислить предел числовой последовательности, заданной общим членом;

. найти общую формулу для суммы членов числовой последовательности,

заданной общим членом;

. вычислить производную данной функции;

. найти первообразную данной функции или значение определенного

интеграла.

Другие возможности меню Symbolics (Аналитические вычисления) состоят в

выполнении аналитических операций, ориентированных на переменную,

использованную в выражении. Для этого надо выделить в выражении переменную

и выбрать команду из меню Symbolics> Variable (Аналитические вычисления >

Переменная). Команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным

выражением, например, если выделить уголковым курсором переменную х в

выражении ах2 + bx + с, то в результате применения команды Symbolics >

Variable > Solve (Аналитические вычисления > Переменная > Решить), будут

найдены все корни:

[pic]

Другие возможности использования этого меню включают:

. аналитическое дифференцирование и интегрирование: Symbolics >

Variable > Differentiate (Аналитические вычисления > Переменная >

Дифференцировать) и Symbolics > Variable > Integrate (Аналитические

вычисления > Переменная > Интегрировать);

. замена переменной: Symbolics > Variable > Substitute (Аналитические

вычисления > Переменная > Подставить) — вместо переменной

подставляется содержимое буфера обмена;

. разложение в ряд Тейлора: Symbolics > Variable > Expand to Series

(Аналитические вычисления > Переменная > Разложить в ряд),

. представление дробно-рациональной функции в виде суммы простых дробей

с линейными и квадратичными знаменателями: Symbolics > Variable >

Convert to Partial Fraction (Аналитические вычисления > Переменная >

Преобразовать в простые дроби).

Наконец, самым мощным инструментом аналитических вычислений является

оператор аналитического вычисления, который вводится с помощью кнопки

Symbolic Evaluation (Вычислить аналитически) на панели инструментов

Evaluation (Вычисление). Его можно, например, использовать для

аналитического решения системы уравнений и неравенств. Блок решения

задается точно так же, как при численном решении (хотя начальные значения

переменных можно не задавать), а последняя формула блока должна выглядеть

find(x,y,...)(, где в скобках приведен список искомых величин, а далее

следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки,

направленной вправо. Любое аналитическое вычисление можно применить с

помощью ключевого слова. Для этого используют кнопку Symbolic Keyword

Evaluation (Вычисление с ключевым словом) на панели инструментов Evaluation

(Вычисление). Ключевые слова вводятся через панель инструментов Symbolics

(Аналитические вычисления). Они полностью охватывают возможности,

заключенные в меню Symbolics (Аналитические вычисления), позволяя также

задавать дополнительные параметры.

[pic]

Рис.5 Аналитические вычисления.

П рограммирование.

Наиболее заметная «изюминка» MathCAD, которую сразу оценили

пользователи, - это встроенный язык программирования. В MathCAD, по сути,

не встроен язык программирования, а просто снято ограничение на

использование составных операторов в теле алгоритмических управляющих

конструкций выбор и повторение. Кроме того, добавлены цикл с параметром и

оператор досрочного выхода break. Алгоритмические конструкции и составные

операторы в среде MathCAD вводятся нажимом одной из семи кнопок панели

управления:

| | |

|Add line |( |

| | |

|if |while |

| | |

|for |break |

| | |

|otherwise | |

Add line - добавить строку программы, тела цикла, плеча альтернативы и

т.д.

( - знак присвоения.

While - при нажатии на эту кнопку на экране появляется заготовка цикла

с предпроверкой: слово while с двумя пустыми квадратиками. В квадратик

правее while нужно записать булево выражение (переменную), управляющее

циклом, а во второй квадратик (ниже while ) - тело цикла.

If - позволяет вводить в программу альтернативу с одним плечом.

Otherwise - позволяет превратить неполную альтернативу в полную:

C ( D if A > B

E ( F otherwise

for - кнопка для ввода в программы цикла с параметром.

Break - кнопка досрочного выхода из программы или цикла.

Литература :

1.Симонович С.В. « Информатика базовый курс».

2. Дьяконов В. « Mathcad 2000».

3.Плис А.И. Сливина Н.А. «Mathcad 2000 математический практикум»

Страницы: 1, 2, 3