Теории управления

Если подставить в (2) разности, то получим :

(3) [pic] -

- разностное уравнение с дискрентным временем.

Z -преобразования

Аналогичны преобразованию Лапласа. Это очень удобный аппарат для

исследования систем с дискретным временем в

частотной области. Для этого вместо экспоненты (для упро-

щения) вводится [pic]- это есть Z-преобразование. Для

того, чтобы ввести Z-преобразование используется сле-

дующий прием связи непрерывного процесса X(t)и дискретно-

го [pic] (1)

X(1),X(2) - выборка с дискрет-

ным временем

([pic]

[pic]

Рассмотрим преобразование Лапласа :

[pic] (2)

Формально введем новую переменную :

[pic] (3)

Используя (2) и (3) получим

[pic] (4)

(4) - называется Z-преобразования, показывает как перейти

от функции с дискретным временем (X(n)) к спектру

на Z-плоскости.(Оно проще преобразования Лапласа,

но имеет те же свойства и для разных дискретных

функций имеются специальные таблицы.

Устойчивость систем с дискретным временем

Системы с непрерывным временем характеризуются передаточ-

ной функцией (отношения 2х полиномов), тоже самое в Z-пре

образовании, только переменная не p = ( ( j(, a [pic],

либо [pic] (на линейной оси)

P-плоскость Z-

плоскость

(Система

устойчива)

[pic] - окружность, следовательно левая комплексная полу-

плоскость легче преобразуется во внутренность круга

Если полюсы передаточной функции находятся во внутреннос-

ти круга, то система устойчива, если полюсы находятся на

самом круге, то будет колебательный процесс, если вне

круга - система неустойчивая.

- устойчивая система - колебательная

система

n

- неустойчивая система

n

Глава 3

Нелинейные динамические системы

Нелинейные динамические системы описываются дифференци-

альными уравнениями :

(1) [pic], где [pic] - вектор, [pic], [pic]

Если линейные дифференциальные уравнения имеют решения

(экспоненциальные), то для нелинейных дифференциальных

уравнений нет общих решений (за редким исключением), но

все реальные динамические системы нелинейны, некоторые

из них нельзя линеаризировать, как быть ?

Выход : 1) Там,где возможно, делается линеаризация правой

части уравнения (1).

Линеаризация - замена нелинейной функции на линейную.

(2) f(x,t)=A(t)x + B(t) + S(x,t)

S(x,t) - мало, им можно принебречь.

Если правая часть (1) не зависит от времени, то система

называется автономной [pic]

Линеаризация используется,как правило, для проверки

устойчивости системы. Для исследования свойств нелиней-

ных динамических систем, обычно используются качественные

и численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Теория

нелинейных уравнений часто называется

теорией нелинейных колебаний.

Пример : Нелинейной динамической системы уравнений Вандер

Поля.

[pic]

[pic] - нелинейность.

[pic] = const

Дифференциальное уравнение называется нелинейным, если

оно нелинейно относительно разыскиваемой переменной (са-

мой переменной или ее производной) (нелинейность из-за

квадрата)

Требуется найти решение x(t) .

Существуют численные методы решения таких дифференциаль-

ных уравнений ( численные методы рассматриваются на сет-

ке с шагом [pic] ) . Решение получается не непрерывное , а

дискретное.

Численные методы описыва-

t ются в книге: Эльсгольц

‘Теория дифференциальных

уравнений и вариационное

исчисление’.

U

[pic]

Численный метод Эйлера ( численный метод)

[pic] , [pic] ; [pic]

[pic]

[pic] (5)

Численный метод предназначен для решения не-

линейных дифференциальных уравнений.

Берется из апприорных (начальных условий)[pic],

подставляется в правую часть уравнения (5) и

т.д. Это называется реккурентностью.

Качественная теория решения нелинейных диффе-

ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе-

мам)

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который

дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де-

лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).

Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф-

ференциальных уравнений, она используется для решения не-

линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа-

зового портрета (некоторый графический материал, по ко-

торому можно анализировать траекторию движения динамичес-

кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из

решений).

На примере X и Y :

y (1) [pic], где [pic]

f(x,y) - некоторая нели-

( dy нейная функция

[pic] - нелинейная

функция

x

Найти решение означает - найти y=((x) (2),

которая удовлетворяет (1).

Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на

плоскости.

Метод изоклин

Если f(x,y)=const, то [pic], а [pic], на кривой

f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение,

такая кривая называется изоклиной. (tg(=const, (=const)

Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по-

ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение,

т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

y Пример1: [pic] ; [pic]

y

- решение диф. - изоклина

уравнения

x

x

Пример 2: [pic], [pic]

Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина.

Решение (касательная к полю направления) -

-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

( - изоклина

( решение

[pic] - Уравнение Вандер Поля

x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе-

ременная

[pic] = const - параметр

[pic] - вторая фазовая переменная

Учитывая это имеем :

(1)’ [pic] пусть[pic] = 0

(1)’’ [pic] [pic]

-

изоклина

- фазовый портрет

- Решение дифференциаль-

ного уравнения Вандер

Поля - окружность

(при [pic] = 0)

Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то

получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж-

ность дает решения синусоидального колебания.

x Y

t t

Пусть [pic] ( 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти-

пов :

Y X(t)

X

t

Выводы :

1) Динамические системы радиоавтоматики описыва-

ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо-

лее высокого порядка ( например: колебатель-

ная система(солнечная система, автогенератор,

полет космического аппарата в поле притяже-

ния земли) описывается диф. уравнением 2-го

порядка и выше.

2) Линейные динамические системы описываются ли-

нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес-

кая система составленная из R,L,C - цепочек и

активных элементов (транзисторов и т.д.).

Любая линейная система путем преобразования

Лапласа может быть представлена в виде пере-

даточной функции.(Диф. уравнение преобразует-

ся по Лапласу). Передаточная функция записы-

вается для удобства в комплексном виде, на

мнимой оси p=j( можно найти АЧХ и ФЧХ линей-

ной системы. Передаточная функция дает инфор-

мацию об устойчивости системы.

3) Нелинейные динамические системы описываются

нелинейными диф. уравнениями, в этих системах

обязательно есть нелинейность вида ([pic]

и др.), общих решений и анализа через переда-

точную функцию как правило не существует, по-

этому есть два метода :

а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановле-

ние по точкам)

б) решение диф. уравнений методом фазового порт-

рета (качественная теория). (Это наглядный

путь выяснения поведения нелинейной системы)

Стохастические системы

Стохастика - случайность.

Определение: Динамическая система называется стохастичес-

кой , если она описывается дифференциальным

или разностным уравнением, в правую часть

которого входит случайный процесс.

Такую систему можно представить в виде линейного или не-

линейного четырехполюсника, на вход которого подается шум

Стохастическая

((t) система X(t)

((t)- шум

X(t)- выходной процесс

Составление модели любой динамической системы должно

в реальных условиях(например движение самолета или раке-

ты) составляться с помощью предварительных экспериментов

над движением реальной системы. (Как правило это диффе-

ренциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения

вставляется некоторый шум, который является случайным

процессом.

Для дальнейшего составления модели используется иден-

тификация модели на основании эксперимента или экспери-

ментальных данных.

Идентификацией называется оценка коэффициентов разност-

ного уравнения и оценка параметров шума:

дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.

Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и

модель были близки.Получив модель мы имеем возможность,

используя эту модель, получить близкую к реальной карти-

не ситуацию движения системы и создать управление ситуа-

цией по нашей модели.

Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать

управляемые динамические системы для любых такти-

ческих ситуаций, известных из практики.

Правильно созданная модель - это максимум успеха в проек-

тировании эффективной систе-

мы. После создания и отработки модели стохастической ди-

намической системы создается аппаратура по этой модели,

которая проверяется на динамическом стенде.

Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситу-

ации уже с аппаратурой.

3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На

борту транспортного или военного средства).

Моделирование случайных процессов с дискретным временем

(1) [pic]- выборка случайного процесса с дискретным

временем.

X(t) Процесс (1) в общем виде очень

трудно анализировать, этот про-

цесс, как правило, получен из

эксперимента. Этот реальный

процесс обычно аппроксимируется

другим процессом, который поз-

[pic] волит нам математически созда-

t вать модели, близкие к реально-

му процессу.

Такое создание моделей называется - аппроксимацией.

Сам аппроксимирующий процесс называется агрегат.

Марковская аппроксимация случайных процессов

Марковским процессом называется такой процесс, у которого

многомерная плотность вероятности

факторизуется в следующем виде : [pic]. Некоторые

значения фазовых переменных в n-мерном пространстве - это

многомерная плотность вероятности

Двумерная плотность Многомерная ФПВ несет всю ин-

вероятности формацию о случчайном процес-

W(x,y) се. Больше информации не су-

ществует.

Однако использовать эту мно-

гомерную ФПВ чрезвычайно сло-

жно на практике, поэтому час-

то прибегают к некоторым ап-

проксимациям процесса :

Y

X

Аппроксимировать - выбрать такие отсчеты

процесса в моменты времени [pic], чтобы все [pic] были

независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следую-

щим образом: [pic] - факторизация.

Однако при такой факторизации может потеряться информа-

ция о случайном процессе. Есть потеря информации для

произвольных отсчетов (кореллированность процесса).

Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ

аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ

факторизуется так :

(2) [pic], где [pic] - ус-

ловная плотность вероятности.

Факторизация (2) позволяет сильно упростить математичес-

кие выкладки в задачах фильтрации и управления.

Определение : Процесс называется марковским, если выпол-

няется условие (2)

Оказывается, существует очень много генераторов марковс-

ких процессов. Мы переходим к их рассмотрению.

Процессы авторегрессии

Процесс авторегрессии - простой генератор марковского

процесса.

1. Односвязная регрессия

(3) [pic]

[pic] - задано. [pic]

[pic] - от генератора белого шума

[pic] - корреляция.

[pic] Если а1 - неустой- [pic]

чивый процесс 1 2 3

4 n

[pic](( (P=1)

x(t) (a=0.9

a(1

(a=0.3

[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

1 2 3 4 5 n

t

а=1 - модель взрыва. Если [pic] - гауссовский случайный про-

цесс, то легко доказать, что многомерная ФПВ факторизует-

ся.

а - коэффициент регрессии.

Если 01); [pic].

x(t)

динамическая ошибка

[pic][pic][pic][pic] [pic]

t

Тогда [pic], в этом случае [pic] (оценка) равна самим наблю-

дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-

лым оценкам.

Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и

динамическую ошибку.

Динамической ошибкой называется разница между оценкой [pic] и

истинным значением [pic] процесса.

[pic]-[pic]=динамическая ошибка.

Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.

При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

Невязка [pic] входит в фильтр Калмана и выполняет роль

корректирующего члена, который в формуле (3)

учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.

Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке

плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,

которая взята с весом [pic]. (Корректирующий член учитывает

наблюдения на шаге ‘n’) Вес [pic] учитывает апприорную дина-

мику системы (модели).

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного

алгоритма только в том случае, если имеется модель

случайного процесса, который он фильтрует.

2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только

в том случае, если реальный процесс близок к модели,

которую мы используем.

Многомерный фильтр Калмана

(1) [pic], где [pic] - текущее время, - [pic]

- вектор (столбики)

A - матрица k(k, H - матрица m(k.

[pic] - вектор, [pic] - шум наблюдения

[pic] ; [pic] - шум динамической системы.

Запишем (1) в скалярной форме. cov(=Q, cov(=P.

[pic]

[pic]

Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :

[pic] ,

где [pic]- вес, [pic]- невязка.

[pic] ; где [pic]- единичная матрица

[pic]=[pic]Г[pic] ; Начальные условия задаются из аппри-

Г[pic] ; орных условий [pic]. [pic]- транспони-

рованная матрица (сопряженная).

Траекторные изменения

Часто требуется получить оценку траектории летательного

аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с

помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-

темой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-

теме координат :

Если известны точно все 9 коор-

Z динат (см.ниже), то можно точ-

л.а. но навести ракету. Для определе-

ния всех координат существуют

р X траекторные фильтры, которые

строятся на базе фильтра Калмана.

Y

[pic]

Траекторный фильтр 2-го порядка

(1) [pic] ; a1 мым и достаточным условием

устойчивости системы.

[pic]

[pic]

[pic]

Устойчивость нелинейных систем

Нелинейная стохастическая система :

(3) [pic]

Устойчивость нелинейных динамических систем опре-

деляется функцией Ляпунова.

Определение устойчивости по Ляпунову для детерминирован-

ной системы.

[pic]

Вводится специальная функция, называемая функцией Ляпуно-

ва. Обозначается : [pic]. Функция удовлетворяет следующим

условиям :

1. Если x=0, то [pic]=0

2. Приращение функции Ляпунова во времени ([pic][pic]0,

т.е. функция должна быть убывающей: [pic]

[pic] Для стохастической системы (3)

обычно функцию Ляпунова выби-

рают так: [pic]. А условие

устойчивости для системы (3)

будет следующим:

[pic]

1)[pic],

[pic] i(( (ассимптотически)

2) [pic]

Анализ качества работы стохастических систем радиоавтома-

тики

Качество линейных и нелинейных стохастических систем оп-

ределяется реальным качеством фильтра. (см. выше)

Синтез предполагает, что модель соответствует реальному случайному

процессу, который мы фильтруем. В этом случае

качество определяется следующим образом :

Пример: Одномерный фильтр Калмана.

Фильтр : [pic] ; [pic]

[pic]

[pic] - шум наблюдений

[pic]

[pic] - апостариорная дисперсия

[pic] - коэффициент усиления

фильтра Калмана

i - дискретное время

Модель : [pic]

[pic] [pic]

Качество фильтрации определяется адекватностью модели и реального процесса.

Как проверить адекватность модели

реальному процессу ? Сделать это

[pic] можно только по невязке: [pic],

где [pic].

i

Теорема : Процесс тогда и только тогда адекватен модели,

когда невязка является белым шумом.

Замечание: Это может случиться только тогда, когда [pic]

Проблема качества определяется проблемой экстраполяции.

Страницы: 1, 2