Теории управления

Теории управления

Управление - относится к математической теории управления движением

технической системы.

Необходимо написать алгоритм, по которому некоторая система управляется с

помощью энергетического воздействия, например : летательный аппарат

управляется с помощью рулевой машины. Оказывается создать управление это не

очень сложно и это можно сделать интуитивно. Однако создать оптимальное

управление чрезвычайно сложно.

Теория оптимизации - это наука о наилучших алгоритмах (управления)

созданных по некоторому критерию качества

Критерий качества - создание (абстрактное) некоторой функции риска,

которая должна быть в процессе оптимизации минимизированна (экстремальная

задача).

Управление бывает оптимальным и квазиоптимальным.

Оптимальное - на бумаге,

Квазиоптимальное - реальное, стремится к идеальному.

Управление бывает :

1) Программное

2) С помощью отрицательной обратной связи

Программное управление –

требуется создать программу, которая дает оптимальную траекторию (заложена

в ЭВМ) движения некоторой системы.

Пример 1 : Перевод летательного аппарата из точки А в

точку В.

Критерий - минимизировать расход горючего.

Для реализации такой задачи создано две системы - Novstar

(США) и Глонасс (Россия), стоимость их очень высока.

Пример 2 : Надо создать такую траекторию, чтобы шарик скатился из точки ‘А’

в точку ‘В’ за минимальное время.

А

А - Оптимальная

В

В траектория

Управление с помощью отрицательной обратной связи

Отрицательной обратной связью - называется передача энергии с выхода на

вход некоторой управляемой системой

вх + Система вых

обратная связь

Бывает два вида обратной связи : Положительная ОС и отрицательная ОС.

Отрицательная ОС уменьшает входное воздействие на систему пропорционально

выходному отклику (демпфирует систему в целом).

Автоматика - наука изучающая теорию анализа и синтеза

систем управления (корректировка движения, оптимизация

переходных процессов) и создание оптимального управления.

Радиоавтоматика - наука, изучающая вопросы управления

движением радиотехнических систем.

Структурная схема системы радиоуправления :

Радио- ((( Устройство (-(( Объект (( Датчик

приемник Управления Управления

ООС

Радиоприемное устройство - устройство выделения сигнала

по некоторому радиоканалу.

Особенность выделения сигнала состоит в том, что сигнал выделяется на

фоне внутренних шумов и помех.

Внутренние шумы - тепловые шумы, которые всегда имеют

место в радиоприемном устройстве.

Таким образом в радиоавтоматике случайные процессы изучаются особо (шум,

помеха, сама траектория движения)

Устройство управления - как правило - вычислительная сис-

тема с приводом и энергетической

установкой.

Привод - преобразователь механических колебаний в элек-

трические.

Объект управления - некоторая динамическая система.

Динамическая система - система, которая описывается ли-

нейными и нелинейными дифферен-

циальными уравнениями высокого

порядка.

Датчик - устройство, которое измеряет положение летатель-

ного аппарата в пространстве.

Глава 1 Стохастическое управление

В случае стохастического управления, управляемые процессы являются

случайными (стохастическими). Начальная точка управления А и конечная В не

известны. В этом случае сам

управляемый процесс описывается стохастическими уравнени-

ями, которые, как правило, апроксимируются марковскими процессами.

Примеры систем автоматического управления

Системы автоматического управления можно описать прибли-

женно используя линейные или нелинейные дифференциальные

уравнения (детерминированный подход без учета шумов).Это

было до 60х годов: все подходы были стохастические линейные и нелинейные

дифференциальные уравнения.

Пример 1 (детерминированный)

Управление движением космического аппарата в грави-

тационном поле земли (задача двух тел).

В геоцентрической системе координат

Z r - расстояние от центра земли

З - центр земли (вся ее масса)

К.А.

r К.А. - космический аппарат

X На космический аппарат действует

З притяжение :

Y F2 [pic] ; [pic]

К.А. F2 - управляющая сила

F3 - сопротивление среды

[pic] ; [pic]

Третий закон Ньютона :

F3 F1 [pic]

Если это уравнение спроектировать на оси ко-

ординат, то получим следующие три уравнения :

(1) [pic]

(1)- система линейных дифференциальных уравнений 2-го по-

рядка, которая описывает движение космического аппа-

рата.

Силы U1,U2,U3 - силы управления.

{x(t),y(t),z(t)}[pic] r(t) - траектория

Оказывается, что в зависимости от начальных условий и па-

раметров K1,K2,K3 траектория r(t) может быть круговая,

эллипсоидная, параболическая.

Пример 2 : Нелинейная система. Описывается нелинейным дифференциальным

уравнением.

Генератор колебаний :

Можно показать, что процесс

x(t) описывается дифферен-

x(t) циальным уравнением 2-го

M порядка с нелинейным

членом [pic].

R

C L L [pic]

C Если емкость варьировать,

то [pic] может стать ну-

лем и тогда мы получим си-

нусоидальное колебание:

x(t)=a sin((t+()

(автоколебания)

Если [pic]- положительно, то амплитуда колебаний увели-

чивается с течением времени.

Если [pic]- отрицательно - амплитуда колебаний уменьша-

ется с течением времени до нуля.

Глава 2

Математическое описание систем (детерминированная терия) (идеальный случай)

Линейные системы, которые описываются дифференциальными

уравнениями называются динамическими системами.

Если система описывается алгебраическими уравнениями -

- это описание состояния равновесия (статические системы)

По определению [pic]

[pic] (1)

(1)- линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.

Правая часть - это дифференциальное уравнение воз-

действия. Если Ly=0 (2) ,то Ly=Px.

(2)- однородное дифференциальное уравнение - описывает

линейные динамические системы без воздействия на

них. Например колебательный контур.

Правая часть уравнения (1) описывает воздействие на ли-

нейную систему или называется управлением.

Ly=x - управление.

Если есть часть Px - то это сложное управление, учитыва-

ющее скорость, ускорение.

Передаточная функция линейной системы

От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линей-

ной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.

Вх W(p) Вых

Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или

смоделировать на ЭВМ.

От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти

двумя путями - используя символический метод и 2-е прео-

бразование Лапласа.

[pic] Сивмолический метод Хиви Сайда.

Применив символический метод к (1) получим :

[pic]

[pic] (3)

Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов -

описание передаточной функции.

Использование преобразования Лапласа

[pic] - преобразование Лапласа, p=j(

Если мы применим преобразование Лапласа к левой части (1)

и учитывая, что [pic], получим :

[pic] (4)

X(p) Y(p)

W(p)

Если правая часть передаточной функции простейшая -

[pic], то воздействие обычное. Передаточ-

ная функция будет иметь вид :

(5) [pic] , где знамена-

тель дроби есть характеристическое уравне-

ние.

Пример : Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы-

вается передаточной функцией :

[pic] (6)

Для нахождения решения дифференциального уравнения снача-

ла необходимо решить следующее уравнение :

[pic]

Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка

имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий

над ней. (Это зависит от корней характеристического урав-

нения). Если корни комплексные, тогда решение будет :

(7) [pic](t+[pic](t)

Если корни (( ( j( решение будет [pic] (7)(

(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо

обычной синусоиды, если (=0.

Устойчивость линейных систем

Линейная система полностью описывается передаточной функ-

цией, которая представляет собой :

[pic] в комплескной плоскости

p=(+j( . Эти полиномы получены из дифференциальных урав-

нений путем преобразования Лапласа.

Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)

Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе-

ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа

полюсов и нулей.

Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором

Q(p)=0.

Количество корней определяется степенью полинома. Если

корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q([pic])=0,

W(p)=( - полюс.

Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,

где полином P(p)=0.

Количество нулей определяется порядком поли-

нома.

j(

( > 0 полюсы

сопряж. пара ( [pic] [pic]

( > 0

[pic]

[pic] - полюсы (корни характеристического урав-

нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.

Выводы :

1. Если корни характеристического уравнения Q(p)

находятся в левой полуплоскости , то система ус-

тойчива. [pic]((t(() - решение для комплексных

корней.

2. Если ( >0 , то решение будет [pic]((t(().

Система неустойчива.

Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е.

оказывают воздействие на переходной процесс

Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально

фазовой.

Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая

система.

Если полюсы на мнимой оси, т.е. (=0, то система нахо-

дится в колебательном режиме (Система без потерь).

Передаточная функция линейной системы на мнимой оси

В этом случае после преобразований получим:

W(j()=A(()+jB(() -

Передаточная функция есть комплексное число.

Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.

Оказывается очень удобно исследовать W(j()на мнимой оси не с помощью нулей

и полюсов, а с использованием комплек-

сной передаточной функции.

Комплексная функция :

АЧХ - четная функция: [pic]

ФЧХ - нечетная функция: [pic]

АЧХ

ФЧХ

АЧХ показывает селективность системы по

амплитудному спектру.

ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на

выходе фильтра каждая гармоника.

Замечание: Известно, что спектр сигнала (по

Фурье) удобно представлять в ком-

плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас-

пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас-

пределение фаз).

Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ-

ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это

позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.

Передаточная функция систем радиоавтоматики

1)

вх [pic] [pic] (( [pic] вых

Передаточная функция последовательно соединенных звень-

ев : [pic]

2)

[pic] Передаточная функция парал-

лельно соединенных звеньев:

[pic]

вх вых

[pic]

: :

: :

: :

[pic]

3) y(t) Передаточная функция системы

x(t) ((((( [pic] (((( с обратной связью:

[pic]

[pic]

Типовые звенья радиоавтоматики

1) Инерционное звено

Передаточная функция :

C

вх R вых [pic] ; [pic]

W(() АЧХ

K

[pic]

( (()= - arctgT( ФЧХ

0

(

-45(

-90(

2) Интегрирующее звено

Передаточная функция :

W(() АЧХ W(p)=[pic]

[pic] ; ФЧХ : [pic]

0 (

3) Дифференцирующее звено

C

R

R L

W(() АЧХ Передаточная функция :

W(p)=Kp

АЧХ: W(()=K(

ФЧХ: ((()=[pic]

0 (

4) Форсирующее звено

W(() АЧХ

Передаточная функция:

[pic] [pic][pic]

K АЧХ : [pic]

( ФЧХ : [pic]

0

( (()

[pic]

[pic]

0 (

5) Запаздывающее звено

АЧХ: [pic]=1 Передаточная функция :

ФЧХ: ((()=(t [pic]

((() ФЧХ

АЧХ

1

Запаздывающее звено называется линией задержки, где

t=T - время запаздывания ЛЗ. ((()=(T; [pic]

5) Колебательное звено

Передаточная функция:

[pic]

АЧХ [pic] - параметр затухания

[pic]1 - самовозбуждающаяся

система

ФЧХ

6) Неминимально фазовое звено

Передаточная функция:

АЧХ при a=b : [pic]

[pic]; W(()=1

ФЧХ при а=b : [pic] АЧХ

ФЧХ

Цифровые системы автоматического управления

Задан процесс: Будем рассматривать про-

y(t) цесс y(t) в дискретные мо-

менты времени.

Такой процесс называется с

дискретным временем.

[pic]

Значения этого процесса в

дискретные моменты :

[pic]

[pic]

[pic] - значения

Существуют два типа процесса с дискретным временем :

1)Процесс с дискретным временем и непрерывным множеством

состояний. Это означает, что функция [pic] является непре-

рывной ( если это случайный процесс, то [pic] непрерывна в

среднем квадратическом).

ПЗС

y(t) Преобразователь [pic] [pic]-

непрерывные функции

ПЗС - прибор с зарядовой связью

[pic] - интервал дискретизации во времени (квантование по

времени)

Для таких процессов составляются разностные уравнения :

[pic] - 1-е приращение, конечная разность

[pic] - 2-я разность

2) Процесс с дискретным временем и дискретным множеством

состояний.

y(t) АЦП [pic]

Процесс 2 отличается от процесса 1 тем, что [pic] записы-

вается в цифровом виде - дискретная функция, вся база

исследований другая. Квантование идет и во времени и

по уровню.

Очень часто делается бинарное квантование 0;1. В этом

случае аппаратура сильно упрощается.

Замечание :

1) В первом случае (ПЗС) если y(t)([pic], то выход-

ной процесс [pic] , т.е. такой же, но дискрет-

ный.

2) [pic] - биномиальное распределение.

Оказывается, если число уровней квантования ( 8,то

их можно отождествить с непрерывными системами.

Представление дифференциальных уравнений, описывающих

системы автоматического управления конечных разностей

(1) [pic]

[pic] - первая разность, аналог пер-

вой производной

n - непрерывное время, непрерывное множество состо-

яний.

[pic] - аналог 2й

производной

.......................................

[pic] - аналог К-той производной

Если это подставить в непрерывное дифференциальное урав-

нение то получим следующее :

(2) [pic]

Страницы: 1, 2