Преподавание алгебраического материала в начальной школе

зависимостью входящих в нее величин; с различными сторонами жизни, учатся

думать, рассуждать, сравнивать и т.п.

Обучая детей решению задач, учу их составлять обратные задачи. В

основе каждого способа укрупнения дидактических единиц лежит великий

информационный закон живой природы – закон обратной связи, открытый П.К.

Анохиным.

При работе над задачами выгодно пользоваться, когда в серии задач

последующая отличается от предыдущей лишь каким-то одним элементом. В этом

случае переход от одной задачи к другой облегчается, и информация,

полученная при решении предыдущей задачи, помогает в поиске решения

последующих задач.

Особенно полезен этот прием слабым или медлительным детям. Например,

рассмотрим задачу на нахождение суммы; составим обратные задачи.

"Отец дал Маше 11 яблок, а мама добавила еще 5 яблок. Сколько всего

яблок дали Маше родители?".

Проведу анализ задачи по вопросам:

1. Прямая задача:

- Что известно в задаче? (12 яблок, 5 яблок)

- Что нужно узнать? (сколько всего яблок дали Маше родители?)

- Запишем краткую запись задачи: 12 яблок, 5 яблок, ? яблок.

- Как узнать, сколько яблок дали Маше родители? (12 + 5 = 17 яблок)

Ответ: 17 яблок дали Маше родители.

2. – Составим обратную задачу, для чего неизвестным сделаем одно из двух

чисел, например, 12 яблок (дал отец).

? яблок, 5 яблок, 17 яблок.

- Составим по записи обратную задачу:

"Отец дал несколько яблок, а мама добавила еще 5 яблок. Всего у Маши

стало 17 яблок. Сколько яблок Маше дал отец?".

17 – 5 = 12 (яблок)

Ответ: 12 яблок дал Маше отец.

3. - Можно составить еще одну обратную задачу, где неизвестным будет

количество яблок, данных Маше мамой.

Краткая запись: 12 яблок, ? яблок, 17 яблок.

- Сформулируем обратную задачу:

"Отец дал Маше 12 яблок, а мама добавила еще несколько яблок. Всего у

Маши стало 17 яблок. Сколько яблок дала Маше мама?".

17 – 12 = 5 (яблок)

Ответ: 5 яблок дала Маше мама.

В тетрадях ведутся краткие записи по всем 3 задачам.

Взаимосвязанные задачи сливаются в группу родственных задач как

крупную единицу усвоения и образуют триаду задач.

Итак, главная технологическая новизна системы укрупнения дидактических

единиц заключается в наличии заданий (задач), по которым школьник

упражняется в самостоятельном упражнении обратной задачи на основе анализа

условия прямой задачи, выявления логического скелета.

Четвертый способ укрупнения дидактических единиц - усиление удельного

веса творческих заданий.

Например, учащимся предлагается решить пример с "окошком":

? + 7 – 50 = 20 . Дети ищут ответ методом подбора, но можно решить

это задание, рассуждая по стрелке (заменить знаки на противоположные: 20 +

50 – 7 = 63). Искомое число 63.

С помощью этих упражнений ребенок приучается к самостоятельному

продолжению мысли, к перестройке суждения (предложения), что имеет решающее

значение в последующем для составления активного, творческого ума человека,

столь ценного в своем проявлении в любой сфере трудовой деятельности.

Технологию укрупнения дидактических единиц (ее элементов) начала

внедрять в процесс обучения математике с 2000 года. Глубоко убеждена в том,

что сам процесс обучения должен иметь развивающий характер, содержать в

себе проблемные ситуации, строиться на основе методики сотрудничества,

сотворчества, совместного поиска.

В такой сфере воспитания и обучения должна постоянно присутствовать

"мысленная деятельность – без переутомления, без рывков, спешки и надрыва

духовных сил" (В. Сухомлинский).

На мой взгляд, наиболее полно всем этим требованиям отвечает система

П.М. Эрдниева - технология укрупнения дидактических единиц.

3.2 Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями в I классе

Ниже рассмотрим некоторые практические особенности ознакомления

учащихся начальной школы с алгебраическими понятиями. Здесь использовался

опыт работы автора в 1999-2000 учебном году в средней школе № 4 г. Рыльска.

Вначале дети самостоятельно устанавливали признаки, по которым можно

сравнивать те или иные предметы. Учитель показывает детям две гири (они

разного цвета - черная и белая) и спрашивает, по каким признакам их можно

сравнивать.

Ученики. Их можно сравнить по весу (показывают на весы), по высоте, по

донышку (они имеют в виду размер - площадь основания).

Учитель. Что же можно сказать?

Ученики. Они не равны (по весу, высоте).

Учитель. Точнее как можно это выразить?

Ученики. Черная гиря тяжелее, выше, больше, толще белой.

Учитель. Что это значит - тяжелее? Черная гиря меньше белой по весу?

Ученики. (Смеются.) Нет, не меньше, а тяжелее... больше по весу.

Учитель. Белая гиря легче - как еще про это можно сказать?

Ученики. (Поднимает руки около половины класса.) Белая гиря меньше,

легче по весу, чем черная.

Аналогичная работа при наводящих вопросах проводится и по отношению к

другим признакам. Вместе с учителем дети устанавливают, что "тяжелее" - это

больше по весу, "длиннее" - это больше по длине ("высоте", "росту"),

"тверже" - это больше по твердости и т.д. (соответственно для "меньше").

При этом учитель ставит перед детьми различные задания, требующие учета

таких "перешифровок".

Учащимся далее специально указывается на то, что слова "длиннее",

"тяжелее" сами по себе говорят о признаках, которые сравниваются (получив

соответствующие задания с этими словами, дети находят нужные предметы).

Если же говорить "больше - меньше", то надо еще дополнительно отмечать, по

какому признаку выполнилось сравнение (по весу, по площади и т.д.).

Заключительным этапом этой работы было выяснение того, что если можно

найти признак, по которому предметы сравниваются, то они будут либо

равными, либо неравными. Это можно записать особыми знаками "=" и "не

равно". Но последний знак сам может быть уточнен - при неравенстве один

предмет меньше или больше другого (по найденному признаку). Для этого есть

свои знаки "". Дети учились записывать результат сравнения всеми

этими знаками. Выполняли они и "обратные" задания - по написанным знакам

(">" или "Б. Эта запись

снова расшифровывалась - дети поочередно объясняют ее смысл: "Вес гирьки,

он А, он больше Б, веса брусочка". Учитель заменяет эту пару сравниваемых

предметов другой - новые гирька и брусок, сохраняя прежнее отношение между

собой, отличаются от старых размерами и цветами.

Учитель. Какой результат сравнения этих предметов по весу мы получили?

Ученики. Опять гирька по весу тяжелее брусочка.

Учитель. Вы теперь знаете новый значок для записи результата

сравнения. Ну-ка, попытайтесь работать с помощью этого значка. Как записать

вес этой гирьки? Вес брусочка? Запишем.

Ученики. Буквой А и буквой Б (вместе с учителем записывают в тетрадях

А...Б).

Учитель. Эта запись уже про все нам говорит?

Ученики. Нет! Здесь про вес... а нужно еще про результат...

Учитель. Что же нам известно про этот результат? Как его записать

здесь, когда у нас есть буквы? Попытайтесь сделать это самостоятельно.

Многие ученики, опираясь на предыдущую запись, ставят знак правильно -

между буквами: А>Б; но некоторые дети ставят его строчкой ниже, хотя смысл

записи объясняют правильно.

Учитель проверяет работу, еще раз показывает правила записи, место для

знаков, спрашивает относительно смысла формулы, ее отдельных значков.

Учитель. Читается, ребята, это так: А больше Б. Но что такое А, что

такое Б? Про что говорит нам эта запись?

Ученики. Запись говорит - мы сравнивали гирьку и брусок по весу: вес

гирьки - это А; вес бруска - это Б. По весу гирька больше бруска. Вес

гирьки больше веса брусочка. Записано: А больше Б.

Учитель мог заменить эту пару предметов новой и опять сравнивать по

весу, но теперь гирька может быть легче бруска - записывалась и

расшифровывалась формула АБ, либо как АД; Б>В, Ж>К и т.д., обсуждал вместе с детьми вопрос о том,

одинаковые эти формулы или различные. Дети, как правило, самостоятельно

устанавливали факт тождественности этих формул, ссылаясь на два момента: во

всех случаях стоит знак "больше" и все формулы говорят об одном и том же

результате.

Вместе с тем на ряде примеров учитель показывал, что при сравнении по

разным признакам лучше употреблять разные буквы, чтобы на этом уроке знать,

к чему какая формула относится (хотя на следующем уроке все это теряло

смысл, так как те же буквы употреблялись в других ситуациях и т.д.).

Укажем еще один своеобразный момент. На первых порах некоторые дети

(их, как правило, было в каждом классе немного) записывали результат

сравнения буквами разных размеров, т.е. переносили сюда принцип

моделирования предметными значками. Учитель показывал, что в формуле это

делать излишне, так как все равно отношение указывается знаком неравенства.

На некоторых уроках детям показывались формулы, буквы которых различались

по "размерам", но со смыслом, противоположным знаку (например, А<в).

Предлагалось подобрать соответствующие предметные иллюстрации; выполняя

задание, дети опирались здесь на знак. Учитель же еще раз показывал, что

"размер" самих букв может быть любым, - важен смысл формулы, записанной

знаком и обозначающий сравнение "каких-либо" предметов (это выражение стало

"обиходным" и для самих учащихся).

Работа по данной теме имеет первостепенное значение для развертывания

всего начального раздела математики, так как по существу связана с

построением в деятельности ребенка особого предмета - системы отношений,

выделяющих величины как основу дальнейших математических преобразований.

Буквенные формулы, заменяющие ряд предварительных способов записи, впервые

превращают эти отношения в абстракцию, ибо сами буквы обозначают любые

конкретные значения любых конкретных величин, а вся формула - любые,

возможные отношения равенства или неравенства этих значений. Теперь,

опираясь на формулы, можно изучать собственные свойства выделенных

отношений, превращая их в особый предмет анализа.

Приведенные выше данные указывают на необходимость особой работы по

ознакомлению детей со смыслом некоторых формальных особенностей

оперированию математической символикой.

3.3 Обучение решению задач, связанных с движением тел

Задачи на движение, рассматриваемые в начальных классах, включают в

себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи по существу

математических зависимостей между величинами, входящими в задачу. структуре

и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера

рассмотрим пары задач и их решения:

1. а) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько

деталей он изготовит за 3 часа?

б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч,

если будет идти с той же скоростью?

Эту пару задач можно решить тремя способами:

1-й способ 2-й способ 3-й способ

1)120:6=20 1)6:3=2 6 ч =360 мин

2)20-3=60 2)120:2=60 3ч =180 мин

1)360:120=3

2) 180:3=60

2. а) Из двух городов, находящихся на расстоянии 280 км, выехали

одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если

скорость первой машины 60 км/ч, второй - 80 км/ч?

б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинаковых деталей. За сколько

часов они могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60

деталей, а второй 80 деталей?

Приведем арифметический и алгебраический способы решения:

280 : (80 + 60) = 2 (80 + 60) • х = 240

Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так

и алгебраические полностью совпадают. Однако в методической литературе

задачи, связанные с движением тел. традиционно принято выделять в особый

тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том,

что они построены на основе функциональной зависимости между величинами:

скорость, время. расстояние. Методика обучения решению таких задач зачастую

связана с использованием чертежа и построена на основе четких представлений

о скорости равномерного движения тел и на основе понятий двигаться

навстречу друг другу, двигаться вдогонку, выехали одновременно и

встретились, скорость сближения. Чтобы подготовить детей к восприятию этих

понятий, необходимо проводить определенную предварительную работу, которая

должна сводиться к формированию умения работать с чертежом, к осознанию

понятия «скорость движения» и взаимосвязи между величинами, включенными в

задачу.

Однако, как показывает практика обучения, умение решать задачи на

движение у учащихся сформировано недостаточно. Например, учащимся были

предложены две задачи, одинаковые по структуре, но различные по фабуле. В

первой задаче речь шла о покупке тетрадей, во второй о движении тел. С

первой задачей справилось значительное большинство учащихся, в то время как

с задачей на движение - лишь незначительная часть. Некоторые дети вообще

отказались от решения, обосновывая это тем, что задачи на движение они

решать не умеют. Думается, что причина этого заключается в том, что дети

недостаточно подготовлены к восприятию этих задач.

Альтернативные программы и учебники предусматривают решение более

трудных и сложных задач. Рассмотрим задачу № 338 из учебника математики для

III класса И. И. Аргинской ([2]):

«Из двух городов навстречу друг другу вы шли одновременно два поезда и

встретились через 18 часов. Определить скорость каждой поезда, если

расстояние между городами 1620 км, а скорость одного поезда на 10 км/ч

больше скорости другого». Реши задачу алгебраическим способом, реши задачу,

выполни необходимые действия.

Я в процессе беседы стараюсь подвести учащихся к составлению

уравнения.

Пусть скорость одного поезда у км/ч, тогда скорость другого у + 10

(км/ч). Скорость сближения поездов (у + у + 10 (км/ч). Путь, пройденный ими

до встречи (у + у + 10) • 18 = 1620.

При решении уравнения учащиеся могут использовать: правило умножения

суммы на число (распределительный закон умножения относительно сложения);

взаимосвязь между компонентам и результатом действия и только что изученное

свойство равенства (а - в = с - в. а = с).

Рассуждения при этом могут быть такими

(у + у + 10) • 18 = 1620

Неизвестен первый множитель. Чтобы найти его, нужно произведение

разделить на известный множитель:

у + у + 10 = 1620 : 18

у + у + 10 = 90

Вычтем из обеих частей равенства по 10, получим:

у + у = 80

Применяем распределительный закон умножения относительно сложения (а +

b) с = а с + b с), получим (1 + 1) у = 80: 2 у = 80 Применяем правило

нахождения второго множителя (чтобы найти неизвестный множитель, нужно

произведение разделить на известный множитель): у = 80 : 2. y = 40.

При решении задач алгебраическим способом много времени тратится на

оформление записи при составлении уравнения, и детям трудно удержать в уме

всю цепочку рассуждений. Зная это, многие учителя используют табличную

краткую запись, обозначив скорость одного из поездов буквой:

Скорость Время Расстояние

1. y 18 ч ?

2. у + 10 одинаковое 1620 км

18 ч ?

Такая краткая запись (модель задачи) является результатом аналитико-

синтетической деятельности, которая представляет все связи и зависимости в

легко обозримой форме и направляет на путь составления уравнения:

18 у +(у + 10) 18 = 1620. Решение этого уравнения основано на

использовании указанных свойств действий и свойств числовых равенств

(равносильности уравнений).

у 18 +у 18 + 180= 1 620

(18+18)у = 1620-180

36у = 1440

у = 1440 : 36

y = 40

О т в е т: 40 км/ч - скорость первого поезда, 40 + 10 = 50 (км/ч) -

скорость второго поезда.

Как видим, составление такой таблицы дает возможность легко подвести

детей к составлению уравнения.

Следует, впрочем, ответить, что при решении уравнения учащиеся

испытывают трудности, связанные с недостаточным знанием дистрибутивного

закона умножения (ас + bc = (а + в)с ), а также с преобразованиями

уравнения, что в свою очередь порождает формальное усвоение изучаемого

материала. Учитывая это, многие учителя предлагают решать задачи

арифметическим способом. Впрочем, зачастую и здесь решение задачи сопряжено

с определенными трудностями, связанными с необходимостью делать те или иные

предположения.

Однако представляется, что все-таки приоритет при решении подобного

рода задач следует отдавать алгебраическим методам. Аналитико-синтетическая

деятельность позволяет учащимся представить все связи и зависимости в

доступной форме и в итоге приводит к верному решению.

Заключение

В настоящее время возникли достаточно благоприятные условия для

коренного улучшения постановки математического образования в начальной

школе:

1) начальная школа из трехлетней преобразована в четырехлетнюю;

2) на изучение математики в первые четыре года выделяется 700 ч., т.

е. почти 40 % всего времени, отводимого этому предмету за всю среднюю

школу;

3) учителями начальной школы работает с каждым годом все большее число

лиц, имеющих высшее образование;

4) возросли возможности лучшего обеспечения учителей и школьников

учебно-наглядными пособиями, причем многие из них выпускаются в цветном

исполнении.

Нет необходимости доказывать решающую роль начального обучения

математике для развития интеллекта ученика вообще. Богатство базисных

ассоциаций, обретаемых школьником за первые четыре года обучения, при

правильной постановке дела становится главным условием самонаращивания

знаний в последующие годы. Если этот запас исходных представлений и

понятий, ходов мыслей, основных логических приемов будет неполон, негибок,

обеднен, то при переходе в старшие классы школьники будут постоянно

испытывать трудности, независимо от того, кто их будет учить дальше или по

каким учебникам они будут учиться.

Как известно, начальная школа функционирует в нашей и других странах

много веков, в то время как всеобщее среднее образование осуществляется

лишь несколько десятилетий. Понятно отсюда, что теория и практика

начального обучения гораздо богаче своими добротными традициями, чем

обучение в старших классах.

Драгоценные методические находки и обобщения по начальному обучению

математике были сделаны еще Л. Н. Толстым, К. Д. Ушинским, С. И. Шохор-

Троцким, В. Латышевым и другими методистами уже в прошлом веке.

Значительные результаты были получены в последние десятилетия по методике

начальной математики в лабораториях Л. В. Занкова, А. С. Пчелко, а также в

исследованиях по укрупнению дидактических единиц.

Между тем современное состояние дела обучения в начальной школе

таково, что эффективные пути его совершенствования, освоенные учителями в

недавние годы, оказались неожиданно обойденными последними редакциями

программ и учебников. Серьезный недостаток действующих сейчас программ —

это нарушение преемственности с программами для средних классов.

Так, например, в программах начальных классов не решена проблема

пропедевтики ряда важных понятий, которая успешно достигалась ранее в

начальной школе. Такой пропедевтики не получилось из-за вымученного

растягивания программами традиционного материала, который раньше осваивали

гораздо быстрее и продуктивнее. Программа нынешней четырехлетней школы

стала менее информативной, чем предшествовавшая ей программа для трехлетней

школы.

При разумном учете наличных научных результатов, полученных в

последние 20 лет по методике начального обучения различными творческими

коллективами, сейчас имеется полная возможность добиться в начальной школе

«учения с увлечением».

В частности, знакомство учащихся с базовыми алгебраическими понятиями,

несомненно, положительно скажется на освоении учащимися соответствующих

знаний в старших классах.

Представляется, что лишение младшего школьника доступного и

необходимого знания обернется для него уроном, невосполнимым никогда позже.

Для практики начального обучения математике имеет важнейшее значение

прием совмещения на одном уроке (в пространстве одной страницы учебника)

взаимно-обратных задач. Поэтому представляется совершенно необходимым

пользоваться традиционными названиями основных видов сопоставляемых друг

другу задач: если повторение равных слагаемых выступает как умножение, то и

обратные им задачи (деление на равные части и деление по содержанию) должны

использоваться в учебниках, при планировании и проведении уроков. В

действующих программах мы не находим привычных понятий: задач на нахождение

суммы, нахождение чисел по двум суммам, на приведение к единице, на

пропорциональное деление и т.д. Такое положение отнюдь не является

достоинством программ.

Психологом Ж. Пиаже была установлена фундаментальная закономерность

обратимости операций, с которой связано методическое понятие «обратная

задача». В частности, всякая информация, воспринятая человеком, продолжает

циркулировать в подсознании (в неосознаваемой форме) в течение 20-30 мин. И

вот, если при умножении 172 на 43 нами получено промежуточное произведение

688, то это же число легче всего проявляется (актуализируется) при решении

обратной задачи на деление «уголком» (7396:172). Связь мыслей «умножение –

деление» как бы прокручивается здесь дважды.

Таково психофизиологическое объяснение полученных на практике

преимуществ более раннего введения алгебраических элементов в начальной

школе. Этот вывод подтверждается также личным педагогическим опытом работы

автора на уроках математики в начальных классах Рыльской средней школы № 4.

Библиографический список

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. /

Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Педагогика, 1977. – 262 с.

2. Аргинская И.И., Ивановская Е.А. Математика: Учебник для 3 класса

четырехлетней начальной школы. – Самара: изд. дом «Федоров», 2000. – 192

с.

3. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в

начальных классах. – М.: Педагогика, 1984. – 301 с.

4. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. – М.: Учпедгиз, 1961. – 171 с.

5. Давыдов В.В. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы.

– М.: Издательский центр «Академия», 1998. – 212 с.

6. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте. / Под

ред. А.В. Петровского. – М.: Педагогика, 1973. – 167 с.

7. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. – М.:

Вагриус, 1994.

8. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.:

Издательский центр «Академия», 1998. – 288 с.

9. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней

начальной школы. – Смоленск: изд-во «Ассоциация XXI век», 2001. – 196 с.

10. Каган В.Ф. О свойствах математических понятий. – М.: Наука, 1984. – 144

с.

11. Когаловский С. Р., Шмелева Е. А., Герасимова О. В. Путь к понятию.

Иваново, 1998. - 208 с.

12. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Изд-во МГУ, 1959. – 134 с.

13. Мойсенко А. В. Концепция школьного математического образования. В кн.

Школа самоопределения. Шаг второй. М.: АО "Политекст". 1994. С.392-422.

14. Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной

школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. / Под ред. Калягина Ю.М.

– М.: Просвещение, 1997. – 240 с.

15. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. –

М.: Педагогика, 1978. – 312 с.

16. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней

начальной школы. – М.: «Баласс», 2001.

17. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. – СП-б: Изд-во «Питер», 1999.

18. Пойя Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. - 448 с.

19. Сергеенко А.В. Преподавание математики за рубежом. – М.: изд. центр

«Академия», 1995. – 197 с.

20. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972. - 192 с.

21. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: ГШБ, 1999. - 304 с.

22. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы

развивающего обучения. – М.: Альматея, 1995. – 244 с.

23. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Математика: Пробный учебник для 3 класса

четырехлетней начальной школы. – М.: Педагогика, 1999. – 232 с.

24. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в

начальной школе. – М.: Педагогика, 1988. – 208 с.

25. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении

математике.– М.: Педагогика, 1986. – 197 с.

26. Архангельский А. В. О сущности математики и фундаментальных

математических структурах // История и методология естественных наук

(Москва) – 1986. - №32. - С.14-29.

27. Брейтнгам Э.К. Обучение математике в личностно-ориентированной модели

образования. // Педагогика. – 2000. - № 10. – С. 45-48.

28. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших

школьников на уроке математики. // Начальная школа. – 1992. - № 9/10. –

С. 15-18.

29. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. К вопросу о формировании начальных

математических понятий. Сообщения I - V. // Доклады АПН РСФСР, 1960, № 1,

3, 4-6.

30. Доронина И.М. Использование методики УДЕ на уроках математики в III

классе. // Начальная школа. – 1999. - № 11. – С. 29-30.

31. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика

в школе. - 2000- № 2. - С.13-18.

32. Мартынова О.А. Из опыта обучения математике по системе УДЕ. //

Начальная школа. – 1993. - ; 4. – С. 29-31.

33. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. //

Начальная школа. – 2000. - № 11. – С. 74-77.

34. Укурчиева Т.А. Актуализация резервов мыслительных операций при обучении

математике. // Начальная школа. – 1999. – № 11. – С. 17-18.

35. Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем

образовании. // Математика в школе. – 2001. - № 3. – С. 6-11.

36. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении. // Начальная

школа. – 2000. - № 12. – С. 48-52.

37. Эльконин Д.Б. Психологические исследования в начальной школе. //

Советская педагогика. – 1961. - № 9. – С. 22-31.

38. Эрдниев П.М. Укрупненные знания как условие радостного обучения. //

Начальная школа. – 1999. - № 11. – С. 4-11.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5