Преподавание алгебраического материала в начальной школе

отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей

мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки

вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные,

показывающие тесную связь структур детского мышления и общеалгебраических

структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован.

Наличие этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь

возможности!) для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме

"от простых структур - к их сложным сочетаниям". Одним из условий

реализации этих возможностей является изучение перехода к

опосредствованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ

построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом

формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно

прочный понятийный фундамент.

1.3 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение для

построения учебного предмета

Разделение школьного курса математики на алгебру и арифметику, конечно

же, условно. Переход от одного к другому происходит постепенно. В школьной

практике смысл этого перехода маскируется тем, что изучение дробей

фактически происходит без развернутой опоры на измерение величин - дроби

даются как отношения пар чисел (хотя формально важность измерения величин в

методических руководствах признается). Развернутое введение дробных чисел

на основе измерения величин неизбежно приводит к понятию действительного

числа. Но последнего как раз обычно и не происходит, так как учащихся долго

держат на работе с рациональными числами, а тем самым задерживают их

переход к "алгебре".

Иными словами, школьная алгебра начинается именно тогда, когда

создаются условия для перехода от целых к действительным числам, к

выражению результата измерения дробью (простой и десятичной - конечной, а

затем бесконечной).

Причем исходным может быть знакомство с операцией измерения, получение

конечных десятичных дробей и изучение действий над ними. Если учащиеся уже

владеют такой формой записи результата измерения, то это служит

предпосылкой для "забрасывания" идеи о том, что число может выражаться и

бесконечной дробью. И эту предпосылку целесообразно создавать уже в

пределах начальной школы.

Если понятие дробного (рационального) числа изъять из компетенции

школьной арифметики, то граница между нею и "алгеброй" пройдет по линии

различия между целым и действительным числами. Именно оно "рубит" курс

математики на две части. Здесь не простое различие, а принципиальный

"дуализм" источников - счета и измерения.

Следуя идеям Лебега относительно "общего понятия числа", можно

обеспечить полное единство преподавания математики, но лишь с момента и

после ознакомления детей со счетом и целым (натуральным) числом. Конечно,

сроки этого предварительного ознакомления могут быть разными (в

традиционных программах для начальной школы они явно затянуты), в курс

начальной арифметики можно даже вносить элементы практических измерений

(что имеет место в программе), - однако все это не снимает различия

оснований у арифметики и "алгебры" как учебных предметов. "Дуализм"

исходных пунктов препятствует и тому, чтобы в курсе арифметики по-

настоящему "приживались" разделы, связанные с измерением величин и

переходом к подлинным дробям. Авторы программ и методисты стремятся

сохранить устойчивость и "чистоту" арифметики как школьного учебного

предмета. Указанное различие источников является основной причиной

преподавания математики по схеме - сначала арифметика (целое число), затем

"алгебра" (действительное число).

Эта схема кажется вполне естественной и незыблемой, к тому же она

оправдывается многолетней практикой преподавания математики. Но есть

обстоятельства, которые с логико-психологической точки зрения требуют более

тщательного анализа правомерности этой жесткой схемы преподавания.

Дело в том, что при всем различии этих видов чисел они относятся

именно к числам, т.е. к особой форме отображения количественных отношений.

Принадлежность целого и действительного чисел к "числам" служит основанием

для предположения о генетической производности и самих различий счета и

измерения: у них есть особый и единый источник, соответствующий самой форме

числа. Знание особенностей этой единой основы счета и измерения позволит

более четко представить условия их происхождения, с одной стороны, и

взаимосвязь - с другой.

К чему же обратиться, чтобы нащупать общий корень ветвистого дерева

чисел? Представляется, что прежде всего необходимо проанализировать

содержание понятия величина. Правда, с этим термином сразу связывается

другой - измерение. Однако правомерность подобного соединения не исключает

определенной самостоятельности смысла "величины". Рассмотрение этого

аспекта позволяет сделать выводы, сближающие, с одной стороны, измерение со

счетом, с другой - оперирование числами с некоторыми общематематическими

отношениями и закономерностями.

Итак, что такое "величина" и какой интерес она представляет для

построения начальных разделов школьной математики?

В общем употреблении термин "величина" связан с понятиями "равно",

"больше", "меньше", которые описывают самые различные качества (длину и

плотность, температуру и белизну). В.Ф. Каган ставит вопрос о том, какими

общими свойствами эти понятия обладают. Он показывает, что они относятся к

совокупностям - множествам однородных предметов, сопоставление элементов

которых позволяет применить термины "больше", "равно", "меньше" (например,

к совокупностям всех прямолинейных отрезков, весов, скоростей и т.д.).

Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда

устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его

элементов А и В, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для

любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений:

А=В, А>В, АВ, АВ.

4) Если А=В и В=С, то А=С.

5) Если А>В и В>С, то А>С.

6) Если А", "В исключает соотношение В>А (АВ, то ВА).

III. Если имеет место А>В, то не имеет места AА2, А2>А3,.., Аn-1>Аn, то А1>Аn.

VI. Если А1В, или

АВ и А=С, то С>В и т.д.).

Постулатами сравнения и теоремами, указывает В.Ф. Каган,

"исчерпываются все те свойства понятий "равно", "больше" и "меньше",

которые в математике с ними связываются и находят себе применение

независимо от индивидуальных свойств того множества, к элементам коего мы

их в различных частных случаях применяем" ([10], стр. 31).

Свойства, указанные в постулатах и теоремах, могут характеризовать не

только те непосредственные особенности объектов, которые мы привыкли

связывать с "равно", "больше", "меньше", но и со многими другими

особенностями (например, они могут характеризовать отношение "предок -

потомок"). Это позволяет встать при их описании на общую точку зрения и

рассматривать, например, под углом зрения этих постулатов и теорем любые

три вида отношений "альфа", "бета", "гамма" (при этом можно установить,

удовлетворяют ли эти отношения постулатам и теоремам и при каких условиях).

Под таким углом зрения можно, например, рассматривать такое свойство

вещей, как твердость (тверже, мягче, одинаковая твердость),

последовательность событий во времени (следование, предшествование,

одновременность) и т.д. Во всех этих случаях соотношения "альфа", "бета",

"гамма" получают свою конкретную интерпретацию. Задача, связанная с

подбором такого множества тел, которое бы имело эти отношения, а также

выявление признаков, по которым можно было бы характеризовать "альфа",

"бета", "гамма", - это есть задача на определение критериев сравнения в

данном множестве тел (практически ее в ряде случаев решить нелегко).

"Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину", -

писал В.Ф. Каган ([10], стр. 41).

Реальные объекты могут рассматриваться под углом зрения разных

критериев. Так, группа людей может рассматриваться по такому критерию, как

последовательность моментов рождения каждого ее члена. Другой критерий -

относительное положение, которое примут головы этих людей, если их

поставить рядом на одной горизонтальной плоскости. В каждом случае группа

будет претворяться в величину, имеющую соответствующее наименование -

возраст, рост. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое

множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев

сравнения (наименование величины). Так возникают понятия "объем", "вес",

"электрическое напряжение" и т.д. "При этом для математика величина вполне

определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения", -

отмечал В.Ф. Каган ([10], стр. 47).

В качестве важнейшего примера математической величины этот автор

рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия

сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимают одно место,

следует за..., предшествует), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому

представляет собой величину. По соответствующим критериям сравнения

совокупность дробей также претворяется в величину.

Таково, по В.Ф. Кагану, содержание теории величины, играющей важнейшую

роль в деле обоснования всей математики.

Работая с величинами (отдельные их значения целесообразно фиксировать

буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая

зависимости их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя

сложение (и вычитание), причем при сложении можно руководствоваться

коммутативным и ассоциативным свойствами. Так, если дано соотношение А=В,

то при "решении" задач можно руководствоваться соотношением В=А. В другом

случае при наличии соотношений А>В, В=С можно заключить, что А>С. Поскольку

при а>b существует такое с, что а=b+с, то можно найти разность а и b (а-

b=с), и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на физических телах и

других объектах, установив критерии сравнения и соответствие выделенных

отношений постулатам сравнения.

Приведенные выше материалы позволяют заключить, что и натуральные, и

действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их

существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать

предметом специального изучения ребенка еще до того, как вводится числовая

форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для

последующего развернутого введения числа и его разных видов, в частности

для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в

младших классах.

Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с

физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину, как

предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и

знаковыми средствами фиксации его результатов, с приемами анализа общих

свойств величин. Это содержание нужно развернуть в относительно подробную

программу преподавания и, главное, связать ее с теми действиями ребенка,

посредством которых он может этим содержанием овладеть (конечно, в

соответствующей форме). Вместе с тем нужно экспериментальным, опытным путем

установить, могут ли дети 7 лет усвоить эту программу, и какова

целесообразность ее введения для последующего преподавания математики в

начальных классах в направлении сближения арифметики и начальной алгебры.

До сих пор наши рассуждения носили теоретический характер и были

направлены на выяснение математических предпосылок построения такого

начального раздела курса, который знакомил бы детей с основными

алгебраическими понятиями (до специального введения числа).

Выше были описаны основные свойства, характеризующие величины.

Естественно, что детям 7 лет бессмысленно читать "лекции" относительно этих

свойств. Необходимо было найти такую форму работы детей с дидактическим

материалом, посредством которой они смогли бы, с одной стороны, выявить в

окружающих их вещах эти свойства, с другой - научились бы фиксировать их

определенной символикой и проводить элементарный математический анализ

выделяемых отношений.

В этом плане программа должна содержать, во-первых, указание тех

свойств предмета, которые подлежат освоению, во-вторых, описание

дидактических материалов, в-третьих, - и это с психологической точки зрения

главное - характеристики тех действий, посредством которых ребенок выделяет

определенные свойства предмета и осваивает их. Эти "составляющие" образуют

программу преподавания в собственном смысле этого слова.

Конкретные особенности этой гипотетической программы и ее

"составляющих" имеет смысл излагать при описании процесса самого обучения и

его результатов. Здесь представляется схема данной программы и ее узловые

темы.

Тема I. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объему, весу,

составу частей и другим параметрам).

Практические задачи на уравнивание и комплектование. Выделение

признаков (критериев), по которым одни и те же объекты могут быть уравнены

или укомплектованы. Словесное обозначение этих признаков ("по длине", по

весу" и т.д.).

Эти задачи решаются в процессе работы с дидактическим материалом

(планками, грузами и т.д.) путем:

- выбора "такого же" предмета,

- воспроизведения (построения) "такого же" предмета по выделенному

(указанному) параметру.

Тема II. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой

равенства-неравенства.

1. Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов

этого действия.

2. Словесная фиксация результатов сравнения (термины "больше",

"меньше", "равно"). Письменные знаки ">", "B.

Буква как знак, фиксирующий непосредственно данное, частное значение

объекта по выделенному параметру (по весу, по объему и т.д.).

5. Невозможность фиксации результата сравнения разными формулами.

Выбор определенной формулы для данного результата (полная дизъюнкция

отношений больше - меньше - равно).

Тема III. Свойства равенства и неравенства.

1. Обратимость и рефлексивность равенства (если А=Б, то Б=А; А=А).

2. Связь отношений "больше" и "меньше" в неравенствах при

"перестановках" сравниваемых сторон (если А>Б, то ББ, если АВ, а БB; тo АВ, а В=С; узнать

отношение между А и С).

Тема IV. Операция сложения (вычитания).

1. Наблюдения за изменениями объектов по тому или иному параметру (по

объему, по весу, по длительности и т.д.). Изображение увеличения и

уменьшения знаками "+" и "-" (плюс и минус).

2. Нарушение ранее установленного равенства при соответствующем

изменении той или иной его стороны. Переход от равенства к неравенству.

Запись формул типа:

если А=Б, если А=Б,

то А+К>Б; то А-КБ,

но А+К=Б+К.

4. Решение разнообразных задач, требующих применения операции сложения

(вычитания) при переходе от равенства к неравенству и обратно.

Тема V. Переход от неравенства типа АБ,

то A+х=Б; то А-x=B.

2. Определение значения х. Подстановка этого значения в формулу

(знакомство со скобками). Формулы типа

АВ если А>В

и М=D, и К>Е, и Б=Г,

тo A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А+-Б>В+-Г.

2. Возможность представления значения величины суммой нескольких

значений. Подстановка типа:

А=Б,

Б=Е+К+М,

А=E+К+М.

3. Решение разнообразных задач, требующих учета свойств отношений, с

которыми дети познакомились в процессе работы (многие задачи требуют

одновременного учета нескольких свойств, сообразительности при оценке

смысла формул; описание задач и решения приведены ниже).

Такова программа, рассчитанная на 3,5 - 4 мес. первого полугодия. Как

показывает опыт экспериментального обучения, при правильном планировании

уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе

дидактических пособий весь изложенный в программе материал может быть

полноценно усвоен детьми за более короткий срок (за 3 месяца).

Как строится наша программа дальше? Прежде всего дети знакомятся со

способом получения числа, выражающим отношение какого-либо объекта как

целого (той же величины, представленной непрерывным или дискретным

объектом) к его части. Само это отношение и его конкретное значение

изображается формулой А/К=n, где n - любое целое число, чаще всего

выражающее отношение с точностью до "единицы" (лишь при специальном подборе

материала или при сосчитывании лишь "качественно" отдельных вещей можно

получить абсолютно точное целое число). Дети с самого начала "вынуждены"

иметь в виду, что при измерении или сосчитывании может получиться остаток,

наличие которого нужно специально оговаривать. Это первая ступенька к

последующей работе с дробным числом.

При такой форме получения числа нетрудно подвести детей к описанию

объекта формулой типа А=5k (если отношение было равно "5"). Вместе с первой

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5