Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

Именительный падеж - кто? что?

Родительный падеж - кого? чего?

Дательный падеж - кому? X ?

[pic]

Недостающий вопрос дательного падежа - чему?

В окружающем нас мире большое множество пропорций или отношений. Они

делятся на две большие группы:

прямо пропорциональные и обратно пропорциональные.

Прямо пропорциональные :

1. Длина пути, пройденная равномерно движущимся телом, и время, затраченное

на этот путь.

2. Длина окружности и ее радиус.

3. Длина сторон прямоугольника и его периметр (площадь).

Обратно пропорциональные :

1. Радиус колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке

пути.

2. Скорость движения и время в пути.

Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которой

увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой

величины.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости выражаются формулами:

y = a · x и y = a/x , (x отличен от нуля), где x и y - переменные

величины, а - коэффициент пропорциональности, который и показывает, во

сколько раз происходят изменения. а - действительное число отличное от

нуля. Эти зависимости можно изобразить графически. »

В качестве закрепления понятий прямой и обратной пропорциональной

зависимости преподаватель может дать несколько заданий:

1) Определить, является ли прямой пропорциональной, обратной

пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между

величинами:

а) путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем

ее движения;

б) скоростью движения и временем, если длина пути 120 км;

в) количеством машин и их грузоподъемностью;

г) стоимостью товара, купленной по одной цене, и его количеством;

д) объемом прямоугольного параллелепипеда и высотой, если площадь

его основания 15 дм2 ;

е) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда

некоторую работу и временем выполнения работы;

ж) площадью квадрата и длиной его стороны;

з) ростом ребенка и его возрастом.

2) Задача на прямо пропорциональную зависимость:

Расстояние между городами А и В на карте равно 5,6 см, а на

местности 420 км.

Какое расстояние между городами С и Д на местности, если на этой

же карте расстояние между ними 3,6 см?

3) Задача на обратную пропорциональную зависимость:

28 рабочих могут выполнить строительные работы за 17 дней.

Сколько нужно рабочих, чтобы выполнит те же работы за 14 дней,

если производительность труда останется неизменной?

Методика изучения линейной, квадратной и

кубической функции в VII классе.

Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы,

обладающие общностью аналитического способа задания функции из него,

сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение

индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт,

специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно,

без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода

независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры

вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс –

линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по

более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение

данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере

«типичной» функции этого класса.

Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций —

линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных

для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.

Первоначальное представление о линейной функции выделяется из

рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным

движением, а также при построении графика некоторой линейной функции.

Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся

обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой

линейной функции не может привести к формированию представлений об основных

свойствах графиков всех линейных функций.

Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале

изучения темы приема построения графиков линейной функции.

Первый способ. Использование «загущения» точек на графике.

Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:

а) нанесение нескольких точек;

б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой;

проведение этой прямой;

в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по

нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она

принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной

линейной функции.

Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и

любой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общего

свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема

требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз.

Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных

примеров.

Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание

соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых

свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе,

сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении

происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство

графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять

второй — он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки

проходит одна и только одна прямая.

Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих

свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу:

исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить

геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за

введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть

применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых

один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая

система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их

последующим анализом и установлением связей между ними.

Пример 5. Постройте графики функций:

у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5.

Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно

сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от

числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения

геометрического смысла коэффициентов при переменной.

[pic]

Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью

абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме

того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и

(г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и

второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у

третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о

зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой

коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.

Значительные трудности представляет случай отрицательных значений

углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная

аналогичным образом.

Приведём пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертеже

изображены графики функций у =3x+2; у=3/4x+2.

Построить на этом же чертеже графики функций у = 3х—1;

у = 3/4х — 1; объяснить построение.

Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический

смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление об

этом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такие

классы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другие

приемы.

Например, к изучению класса квадратичных функций привлекается прием,

основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к виду а (х —

b)2 + с, использовании геометрических преобразований для построения графика

произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения —

графика функции у=ах2, а?0.

Остановимся на этом классе функций подробнее. Квадратичная функция

вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и

неравенствами.

Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне

изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2. Свойства этой

функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных

функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у

учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны

на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно

предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х2 на

промежутке -2?х?3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство

монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2, учащиеся часто

делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4?x?9. Эта ошибка для своего

устранения требует рассмотрения графика функции у=х2.

Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции

у=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других —

медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем

целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на

промежутке,. -1?x?1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например,

-3?х?3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно

отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в

дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций,

причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса.

Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении

понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-?2)

может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо

объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2.

Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций

вида у=ах2; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее

вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. И здесь также

коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к

которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси

ординат, либо независимым рассуждением.

Пример 6. Задан график функции у=х2. Построить на этом чертеже график

функции у=х2+1.

Заметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваются,

конечно, конкретные значения) значения функции у=х2+1 на одно и то же

число, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для построения

соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1

точку графика первой функции с абсциссой Хо. Следовательно, чтобы построить

весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой.

Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применить

его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщении

свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить график

функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести

параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат».

После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению

графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность:

коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной

функции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именно

поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям,

которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и

вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)2.

Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как

при рассмотрении функций вида у=x2+с, однако усваивается предлагаемый

способ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество

упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а

также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.

Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в

использовании системы заданий, имеющих цель — дать представление о тех или

иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения

величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назвать

качественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера,

связанные с изучением квадратичных функций.

Пример 7. На рисунке изображены графики функций у=х2 и у= —0,5х2.

Как относительна них пройдет график функции y=0,5х2; -2х2; Зх2? Это задание

не предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишь

указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.

Пример 8. На рисунке изображен график функции у=х2+1, —20. Наоборот, для каждого значения площади

квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны

а. Зависимость стороны квадрата от eго площади выражается формулой a=?ЇS

Формулами S=aІ, где a>0, a=?ЇS задаются функциональные зависимости между

одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной

является сторона квадрата a, а во втором — площадь S.

Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а

зависимую переменную буквой у, то получим формулы:

у=хІ , где х>0, и у=?Їх.

Построим график известной учащимся функции у=хІ и предложить им

составить таблицу значений функции у=?Їх.

Х |0 |0,5 |1 |2 |3 |4 |5 |6 | |У |0 |0,7 |1 |1,4 |1,7 |2 |2,2 |2,4 | |

По точкам таблицы построить график функции у=?Їх и затем предложить

сформулировать некоторые свойства функции.

Подвести учащихся к понятию симметричности графиков относительно

прямой у=х.

Для закрепления темы найти по графику значения аргумента по функции

и наоборот.

Пример 12. Пользуясь графиком найдите:

а) значение ?Їх при х=0,5; 5,5; 8,4;

б) значение х, которому соответствует ?Їх =1,2; 1,7; 2,5.

Заключение

Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают

все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь

являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении

функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые,

специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков

вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения

математике в школе.

Литература:

1. Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы.

Минск, 1970 г.

2. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений.\ под ред.

С.А. Теляковского – 5-е издание – М.Просвещение,1997.

3. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений.\ под ред.

С.А. Теляковского – 2-е издание – М.Просвещение,1991.

4. Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. –

М.Просвещение,1980.

5. Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней

школе. – М.Просвещение,1987.

5. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал

анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

6. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки, Москва,

Просвещение, 1987 г.

-----------------------

[pic]

[pic]

Страницы: 1, 2, 3