Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает

определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции

проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем

изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку

изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в

основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные

приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных

методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к

понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из

логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и

представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система

обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-

первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях,

связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при

развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть

выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между

ними. В эту систему входят такие компоненты:

- представление о функциональной зависимости переменных

величин в реальных процессах и в математике;

- представление о функции как о соответствии;

- построение и использование графиков функций, исследование функций;

- вычисление значений функций, определенных различными

способами.

В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют при

любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из

них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой

введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы

над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных

способах задания функциональной зависимости и ее графического

представления.

Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся к

формированию прикладных умений и навыков.

Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать

за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он

растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с

температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости

температуры от времени.

[pic]

Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какое

время температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате?

г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее

возрастания, промежуток, на котором она постоянна.

В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме

последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен

как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой

зависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции и

аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)).

Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать

такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая

математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого

изучения.

Методика введения понятий:

функции, аргумента, области определения.

Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия

функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это

понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в

изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет

постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей.

Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных

функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной

пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах

вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и

логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции

одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества

вещественных чисел.

В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало

появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе.

Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала

попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной

трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения

функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов,

допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно

упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается

терминами и символикой.

Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийся

формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной

связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс

ведется по трем основным направлениям:

- упорядочение имеющихся представлений о функции,

развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии

(способы задания и общие свойства функций, графическое

истолкование области определения, области значений, возрастания и

т. д. на основе метода координат);

- глубокое изучение отдельных функций и их классов;

- расширение области приложений алгебры за счет включения в нее

идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее

остальных.

В реализации этого направления значительное место отводится усвоению

важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности

соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для

рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции

формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после

первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в

обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную

алгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятия

сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-

первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как

правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления

функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для

усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает

функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и

операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции

могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в

другую — необходимый методический прием при введении понятия функции.

Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в

которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться

основными способами представления функции — формулой, графиком, таблицей,

то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется,

и 3 — при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первого

типа — изменения формы представления:

а) Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2].

б) Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел,

взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35;

2,44; 9,4; 7; 6,25.

в) На рисунке изображены точки на координатной плоскости,

выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.

Построить график зависимости давления от времени в промежутке

12?t?18, соединив эти точки плавной линией.

Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе

первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может

быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего

вида графика линейной функции (задание а)). Поэтому график функции у=4х+1

они могут построить только по точкам. Учитель может обратить внимание на

то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она

определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на

прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно

установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения

графика функции по точкам иллюстрируется заданием в); пользуясь конкретным

содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися

графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике

этим приемом часто приходится пользоваться (интерполяция). В задании б)

можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой — с

понятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлением

постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что

наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.

В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими

являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись

исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и

поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе

функций, в средних классах школ.

Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению

понятия функции в 7 классе:

“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными

величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса

металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем

прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.

В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Рассмотрим примеры.”

Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать

только что изложенный материал.

Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть

сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.

Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее

значение переменной S.

Так,

если a = 3, то S = 32 = 9;

если a = 15, то S = 152 = 225;

если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой

S = a2

(по смыслу задачи a > 0).

Затем дается первое определение зависимой и независимой

переменных:

“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют

независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются

выбранными значениями a, ( зависимой переменной”.

П р и м е р 3. На рисунке изображен график температуры воздуха в

течении суток.

[pic]

С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ( t

( 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия).

Например,

если t = 6, то p = (2;

если t = 12, то p = 2;

если t = 17, то p = 3;

Здесь t является независимой переменной, а p ( зависимой

переменной.

Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера

зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице

(буквой n обозначен номер зоны, а буквой m ( соответствующая стоимость

проезда в рублях):

[pic]

По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9,

можно найти соответствующее значение m. Так,

если n = 2, то m = 1.5;

если n = 6, то m = 4 ;

если n = 9, то m = 8.5;

В этом случае n является независимой переменной, а m ( зависимой

переменной.”

Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции,

объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами,

учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку

относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее

подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной

является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из

возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором (

графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры

вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания

функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах

задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал,

потому что для них он не будет абсолютно новым ( они уже сталкивались с

этим ранее.

Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и

значение функции.

“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной

соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость

одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или

функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой

переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так,

площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный

автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.

Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения которые принимает независимая переменная, образуют

область определения функции.”

Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций

в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и

применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали

причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно

первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже

малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка

всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не

только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить

логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность

мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому

запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в

соответствии с дедуктивным подходом:

1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными

зависимостями.

2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому

значению х соответствует единственное значение у. При этом используют

запись у = f (х).

3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а

переменную у ( зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением

функции.

5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область

определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная,

образуют множество значений функции.

6. Для функции f приняты обозначения: D ( f ) (область определения функции,

E ( f ) ( множество значений функции, f (х0) ( значение функции в точке х0.

7. Если D ( f ) ( R и E ( f ) ( R, то функцию называют числовой.

8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, а

соответствующие им элементы E ( f ) ( значениями функции.

9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана,

то считают, что область определения состоит из всех значений независимой

переменной, при которых эта формула имеет смысл.

10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны

значениям аргумента, а ординаты ( соответствующим значениям функции.

Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого

материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все

определения, прорешиваются примеры ( идет усвоение нового материала.

Методика изучения прямой и обратной

пропорциональной зависимости

Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости

является важным шагом на пути к введению понятия функциональной

зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций.

Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученные

учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к

пониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Например:

«Члены пропорции обладают свойством, которое называют основным

свойством пропорции. Во всякой пропорции произведение крайних членов равно

произведению средних членов, то есть если a/b=c/d , то a · d = b · c .

Это свойство применяется при нахождении неизвестного члена пропорции.

Пусть a/x = c/d , то x = a · d/c .

Посмотрите, как можно использовать знания математики в русском

языке!

Страницы: 1, 2, 3