История доказательства Великой теоремы Ферма

была бы доказана и Великая теорема Ферма. Это утверждение было впоследствии

доказано профессором Калифорнийского университета Кеном Рибетом.

Задача на всю жизнь

Однажды по дороге из школы домой Эндрю Уайлс решил заглянуть в библиотеку

на Милтон-роуд. По сравнению с библиотеками университетских колледжей эта

библиотека была довольно бедной, но выбор книг по занимательной математике

в ней был богатым, и эти книги часто привлекали внимание Эндрю. Их страницы

были до отказа заполнены всякого рода научными курьезами и задачами-

головоломками, и на каждый вопрос существовал готовый ответ, заботливо

помещенный где-нибудь в конце книги. Но на этот раз Эндрю выудил книгу, в

которой речь шла лишь об одной-единственной задаче, и решение ее не

приводилось.

Это была книга Эрика Темпла Белла «Великая проблема». Тридцать лет спустя

после того, как он впервые прочитал эту книгу, Уайлс рассказывал, что он

ощутил при первой встрече с Великой теоремой Ферма. «Она выглядела такой

простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее.

Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я

почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от

этой проблемы. Я должен был решить ее».

Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть

утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения

следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость.

Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали

головы на протяжении столетий, захватила воображение и юного Эндрю Уайлса.

Более двух столетий любая попытка открыть заново доказательство Великой

теоремы Ферма заканчивалась неудачей. В юношеские годы Эндрю Уайлс изучил

труды Эйлера, Жермен, Коши, Ламе и, наконец, Куммера. Уайлс надеялся, что

ему удастся извлечь уроки из ошибок, допущенных великими предшественниками,

но к тому времени, когда он стал старшекурсником Оксфордского университета,

на его пути встала та же каменная стена, перед которой остановился Куммер.

Вполне возможно, что все методы, необходимые для доказательства Великой

теоремы Ферма, уже имелись в распоряжении математиков, и что единственным

недостающим ингредиентом был какой-то остроумный ход. Уайлс не собирался

сдаваться: детская мечта о доказательстве Великой теоремы Ферма

превратилась в глубокое и серьезное увлечение. Ознакомившись со всем, что

можно было узнать о математике XIX века, Уайлс решил взять на вооружение

методы XX века.

В 1975 году Эндрю Уайлс поступил в аспирантуру Кембриджского университета.

В ближайшие три года ему предстояло работать над диссертацией на соискание

ученой степени Рh. D. (доктора философии) и за это время как бы пройти свое

послушание математика-подмастерья. У каждого аспиранта имеется свой

руководитель и наставник. У Уайлса им был австралиец Джон Коутс, профессор

из колледжа Эммануэля, живший у себя на родине в городке Посум Браш в Новом

Южном Уэльсе.

В последнее десятилетие все, что делал Уайлс, было направлено на подготовку

к решающей схватке с Великой теоремой Ферма, но теперь, когда он вступил в

ряды профессиональных математиков, ему приходилось быть более прагматичным.

Как вспоминает Уайлс, он был вынужден временно отказаться от своей мечты.

«Придя в Кембридж, я отложил Ферма в сторону. Не то, чтобы я забыл о

теореме — она всегда была со мной, но я вдруг осознал, что те методы,

которыми мы пытались доказать ее, существовали уже около 130 лет. По-

видимому, они не позволяли дойти до корней проблемы. Работая над

доказательством теоремы Ферма, вы могли потратить годы и остаться ни с чем.

Работать над любимой проблемой — одно удовольствие, пока получается

интересная математика, даже если проблему не удается решить к концу дня.

Хорошей математической проблемой по определению считается такая, которая

порождает хорошую математику. Важна математика, а не сама проблема».

Уайлс отказался от всего, что не было напрямую связано с доказательством

Великой теоремы Ферма. Он перестал принимать участие в нескончаемой

веренице конференций и симпозиумов. Оставаясь сотрудником математического

факультета Принстонского университета, Уайлс продолжал проводить учебные

семинары, читать лекции для студентов и руководить курсовыми и дипломными

работами.

С того самого момента, когда Уайлс принял важное для себя решение заняться

систематическим поиском доказательства гипотезы Таниямы–Шимуры, он

вознамерился работать в полной изоляции и секретности. В современной

математике сложилась культура кооперации и сотрудничества, поэтому принятое

Уайлсом решение могло бы показаться возвращением в прошлое. Он как бы

подражал образу действий самого Ферма, самому знаменитому из математических

отшельников. Свое решение работать в обстановке полной секретности Уайлс

отчасти объясняет желанием работать без помех, не отвлекаясь от основной

задачи: «Я понимал, что все, что имеет какое-то отношение к Великой теореме

Ферма, вызывает слишком большой интерес. Нельзя как следует сосредоточиться

на решении важной задачи, если полностью не отвлечься от всего

постороннего. Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели».

Еще одним мотивом избранного Уайлсом курса на уединение и секретность была

его жажда славы. Уайлс опасался, что когда он проделает основную часть

доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента

выкладок, весть о прорыве просочится наружу — и ничто не помешает какому-

нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной

Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду.

Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая

должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил

обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже

собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея

заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое

исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это

должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься

своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет

поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех

заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных

результатах

После года размышлений Уайлс решил избрать за основу доказательства общий

метод, известный под названием индукции. Индукция — чрезвычайно мощный

способ доказательства, поскольку он позволяет математику доказать, что

утверждение справедливо для бесконечно многих случаев, доказав, что оно

справедливо только в одном случае.

«Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего

приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось

доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы–Шимуры и

доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно

через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно,

что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства

Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие:

доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры. Значит, моя детская мечта — не

пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни

минуты, я отправился домой и принялся за работу» - рассказывал Уайлс.

8 марта 1988 года Уайлс испытал шок, увидев на первых полосах газет

набранные крупным шрифтом заголовки, гласившие: «Великая теорема Ферма

доказана». Газеты «Washington Post» и «New York Times» сообщали, что

тридцативосьмилетний Иоичи Мияока из токийского Метрополитен университета

решил самую трудную математическую проблему в мире. Пока Мияока еще не

опубликовал свое доказательство, но в общих чертах изложил его ход на

семинаре в Институте Макса Планка по математике в Бонне. Дон Цагир,

присутствовавший на докладе Мияоки, выразил оптимизм математического

сообщества в следующих словах: «Представленное Мияокой доказательство

необычайно интересно, и некоторые математики полагают, что оно с высокой

вероятностью окажется правильным. Полной уверенности еще нет, но пока

доказательство выглядит весьма обнадеживающим».

Через две недели после своего выступления в Бонне Мияока опубликовал пять

страниц вычислений, составлявших суть его доказательства, и началась

тщательнейшая проверка. Специалисты по теории чисел и алгебраической

геометрии во всех странах мира изучали, строка за строкой, опубликованные

вычисления. Через несколько дней математики обнаружили в доказательстве

одно противоречие, которое не могло не вызывать беспокойства.

Еще через две недели Герд Фалтингс, проложивший путь Мияоке, объявил о том,

что обнаружил точную причину кажущегося нарушения — пробел в рассуждениях.

Японский математик был геометром и при переводе своих идей на менее

знакомую территорию теории чисел не был абсолютно строг. Армия специалистов

по теории чисел предприняла отчаянные усилия залатать прореху в

доказательстве Мияоки, но тщетно. Через два месяца после того, как Мияока

заявил о том, что располагает полным доказательством Великой теоремы Ферма,

математическое сообщество пришло к единодушному заключению: доказательство

Мияоки обречено на провал.

Уайлс, о котором мир тогда еще ничего не знал, с облегчением вздохнул.

Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась непобежденной, и он мог

продолжать сражаться с ней, надеясь доказать ее с помощью гипотезы

Таниямы–Шимуры. Через три года непрекращающихся усилий, Уайлсу удалось

совершить ряд прорывов. Он применил к эллиптическим кривым группы Галуа,

рассматривая «образы» этих кривых в пространствах над арифметикой вычетов

по модулю степени простого числа. Тем самым, ему удалось сделать первый шаг

рассуждения по индукции.

В 1990 году Уайлс оказался в очень большом затруднении. На ее обследование

у него ушло почти два года. Перепробовав все известные к тому времени

методы и подходы, о которых говорилось в опубликованных работах, Уайлс

обнаружил, что все они не годятся для решения его проблемы. «Я был убежден,

что стою на правильном пути, хотя это отнюдь не означало, что мне

непременно удастся достичь поставленной цели. Методы, необходимые для

решения интересовавшей меня проблемы, могли оказаться лежащими за пределами

современной математики. Могло случиться и так, что методы, необходимые мне

для завершения доказательства, будут созданы лет через сто. Одним словом,

даже если я был на правильном пути, вполне могло оказаться, что я живу не в

том столетии».

Уайлс не пал духом и упорно продолжал работать над проблемой и весь

следующий год. Он начал изучать подход, известный под названием «теория

Ивасавы». Эта теория представляла собой метод анализа эллиптических кривых,

который Уайлс изучал в свои аспирантские годы в Кембридже под руководством

Джона Коутса. Хотя теория Ивасавы в своем первоначальном виде была

неприменима к интересовавшей Уайлса проблеме, но он надеялся, что ему

удастся нужным образом модифицировать ее.

К лету 1991 года Уайлс проиграл сражение: теорию Ивасавы не удалось

приспособить к решению проблемы. Он снова обратился к научным журналам и

монографиям, но все же не смог найти альтернативный метод, который позволил

бы ему осуществить необходимый прорыв. Последние пять лет Уайлс жил в

Принстоне как отшельник, но теперь он решил, что настало время вернуться в

круговорот научной жизни и познакомиться с последними математическими

слухами.

«В тот год я очень упорно работал, но оказалось, метод, который я пытался

применить и усовершенствовать, сопряжен с необычайно тонкой техникой,

которой я по-настоящему не владел. Было необходимо проделать колоссальный

объем довольно трудных вычислений, для выполнения которых мне нужно было

выучить много нового.

В начале января 1993 года я решил, что мне необходимо довериться кому-

нибудь, кто разбирается в той геометрической технике, которую я изобрел для

расчетов. Эксперта я выбирал очень тщательно: ведь мне предстояло доверить

ему свою тайну, и я должен был быть уверен в том, что он не разгласит ее. Я

решил рассказать обо всем Нику Катцу».

Профессор Ник Катц также работал на математическом факультете Принстонского

университета и знал Уайлса несколько лет. Все, что сделал Уайлс, было

открытием, и Катцу пришлось основательно подумать над тем, как лучше

осуществить проверку.

По завершении проверки, Уайлс сосредоточил все свои усилия на завершении

доказательства. И вот, после семи лет работы в одиночку Уайлс наконец

завершил доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры и считал, что его мечта —

доказать Великую теорему Ферма — почти исполнилась.

«Итак, к маю 1993 года я пребывал в убеждении, что Великая теорема Ферма в

моих руках, — вспоминает Уайлс. — Мне хотелось еще раз проверить

доказательство, а в конце июня в Кембридже должна была состояться

конференция, и я подумал, что лучшего места для того, чтобы сообщить о моем

доказательстве, не найти, ведь Кембридж — мой родной город, и я учился там

в аспирантуре».

Едва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля

известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не

могла быть вручена немедленно, так как, по правилам конкурса, ясным и

четким, требовались подтверждение правильности доказательства со стороны

других математиков и официальная публикация доказательства. Королевское

научное общество в Гёттингене в свое время официально уведомило всех о том,

что «к рассмотрению допускаются только математические мемуары,

представленные в виде статей в периодических изданиях или имеющиеся в

книжных лавках... Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два

года после опубликования мемуара, удостоенного премии. Двухлетний

промежуток времени необходим для того, чтобы немецкие и иностранные

математики имели возможность высказать свое мнение по поводу

опубликованного решения».

Но в решающей части рассуждения была ошибка, но настолько тонкая, что Уайлс

заметил ее только после того, как ему ее указали. Описать, в чем суть

ошибки в простых терминах невозможно: для этого она слишком абстрактна.

Даже для того, чтобы объяснить ее математику, от последнего потребовалась

бы готовность затратить два-три месяца для тщательного изучения рукописи с

доказательством.

Уайлс поначалу предполагал, что очередная ошибка столь же несерьезна, как и

предыдущие, но настойчивость Катца, обнаружившего ошибку, вынудила

отнестись к ней серьезнее: «Я не мог немедленно ответить на заданный мне

вопрос, который выглядел вполне невинно. Мне казалось, что вопрос того же

порядка, что и другие, но где-то в сентябре я начал понимать, что речь шла

не о какой-то незначительной трудности, а о фундаментальном пробеле.

О происходящем пронюхали газеты и напомнили математикам о провалившейся

сенсации 1986 года с доказательством Великой теоремы Ферма Мияокой. История

повторялась. Специалисты по теории чисел теперь ожидали послания по

электронной почте с сообщением о том, что в доказательстве обнаружен

невосполнимый пробел. Некоторые математики выразили сомнение в том, что

доказательство будет получено за лето, и теперь их пессимизм казался вполне

оправданным.

Но, несмотря ни на что, Уайлс отказывался публиковать свою рукопись. После

семи лет упорных усилий, ему вовсе не улыбалось отойти от проблемы и

наблюдать, как кто-то другой завершит доказательство и похитит его славу.

Победителем станет не тот, кто проделал большую часть работы, а тот, кто

сделает заключительный шаг и даст миру законченное доказательство. Уайлс

знал, что если рукопись будет опубликована с ошибкой в доказательстве, то

он немедленно будет погребен под ворохом вопросов и просьб пояснить ту или

иную деталь, и это окончательно отвлечет его от дела и разрушит надежды на

то, что ему самому удастся исправить доказательство.

Уайлсу был необходим специалист, свободно владеющий современными

математическими методами и способный, к тому же, хранить тайну. По зрелом

размышлении Уайлс решил пригласить к себе в Принстон для совместной работы

Ричарда Тейлора, ученого из Кембриджского университета.

Хотя сражение, которое Уайлс вел с самой трудной математической проблемой

мира, по-видимому, было обречено на поражение, он мог, оглянувшись на семь

последних лет, утешить себя сознанием того, что все же он достиг неплохих

результатов.

Он живо вспоминает те роковые дни: «В понедельник 19 сентября я с утра

сидел у себя в кабинете, изучая метод, с помощью которого строил

доказательство. Я не надеялся на то, что мне удастся заставить его

заработать, но хотел по крайней мере выяснить, почему этот метод не

срабатывает. Я понимал, что хватаюсь за соломинку, но хотел до конца

разобраться в причинах постигшей меня неудачи. Внезапно, совершенно

неожиданно, на меня снизошло озарение. На следующий день я обошел моих

коллег по математическому факультету и пригласил их заглянуть ко мне в

кабинет и посмотреть, все ли в порядке с найденным мной накануне решением.

С решением все было в порядке. Я был вне себя от возбуждения. Это был самый

важный момент за всю мою математическую карьеру. Ничто из того, что мне

суждено свершить, не могло сравниться с переживаемым моментом».

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи общим

объемом в 130 страниц были подвергнуты самому тщательному анализу, которому

когда-либо подвергались математические рукописи за всю историю

человечества, и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of

Mathematics».

За восемь лет упорнейшего труда Уайлс, по существу, свел воедино все

достижения теории чисел XX века, выстроив из них одно сверхмощное

доказательство. Преследуя свою главную цель, Уайлс попутно создавал

совершенно новые доказательства и использовал их в немыслимых ранее

сочетаниях с традиционными методами.

С помощью гипотезы Таниямы–Шимуры Уайлс объединил эллиптический и

модулярный миры и, тем самым, проложил математике пути ко многим другим

доказательствам: проблемы, стоящие в одной области, могут быть решены по

аналогии с проблемами из параллельной области. Классические нерешенные

проблемы теории эллиптических кривых стало возможным подвергнуть

пересмотру, используя все имеющиеся средства и методы теории модулярных

форм.

Литература

1) Сингх С. Великая теорема Ферма

2) Белл Т. Э. Великая проблема

3) Белл Т. Э. Гениальные математики

4) Хит Т. История греческой математики

Содержание

Суть теоремы

Биография Ферма

Первый серьезный прорыв

Подход Софи Жермен

Два конверта

Новый импульс

Парадокс математики

Подход с позиции грубой силы

Уход в абстракцию

Задача на всю жизнь

Литература

Страницы: 1, 2, 3