МЕНЮ


Фестивали и конкурсы
Семинары
Издания
О МОДНТ
Приглашения
Поздравляем

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ


  • Инновационный менеджмент
  • Инвестиции
  • ИГП
  • Земельное право
  • Журналистика
  • Жилищное право
  • Радиоэлектроника
  • Психология
  • Программирование и комп-ры
  • Предпринимательство
  • Право
  • Политология
  • Полиграфия
  • Педагогика
  • Оккультизм и уфология
  • Начертательная геометрия
  • Бухучет управленчучет
  • Биология
  • Бизнес-план
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Банковское дело
  • АХД экпред финансы предприятий
  • Аудит
  • Ветеринария
  • Валютные отношения
  • Бухгалтерский учет и аудит
  • Ботаника и сельское хозяйство
  • Биржевое дело
  • Банковское дело
  • Астрономия
  • Архитектура
  • Арбитражный процесс
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Административное право
  • Авиация и космонавтика
  • Кулинария
  • Наука и техника
  • Криминология
  • Криминалистика
  • Косметология
  • Коммуникации и связь
  • Кибернетика
  • Исторические личности
  • Информатика
  • Инвестиции
  • по Зоология
  • Журналистика
  • Карта сайта
  • История доказательства Великой теоремы Ферма

    теоремы Ферма. Того, кто сумеет доказать теорему, ждала не только

    заслуженная слава, но и значительное материальное вознаграждение. Салоны

    Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот или

    иной претендент и как скоро объявят результаты конкурса. Наконец 1 марта

    1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний.

    Два конверта

    В протоколах заседания подробно описывается, как Габриель Ламе, семью

    годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n=7, взошел на трибуну

    перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на

    пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая. Ламе

    признал, что его доказательство еще не полно, но он обрисовал в общих

    чертах свой метод и не без удовольствия сообщил, что через несколько недель

    опубликует полное доказательство в журнале, издаваемом Академией.

    Аудитория замерла от восторга, но едва Ламе покинул трибуну как слова

    попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши.

    Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над

    доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что

    и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство.

    Хотя ни Ламе, ни Коши не располагали полным доказательством, оба соперника

    страстно желали подкрепить свои заявления, и три недели спустя оба

    представили в Академию запечатанные конверты.

    Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем

    домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он

    поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого

    математика Эрнста Куммера. Куммер был признанным специалистом по теории

    чисел, но горячий патриотизм, питаемый искренней ненавистью к Наполеону, на

    протяжении многих лет не позволял ему отдаться своему истинному призванию.

    Когда Куммер был еще ребенком, французская армия вторглась в его родной

    город Сорау, принеся с собой эпидемию тифа. Отец Куммера был городским

    врачом и через несколько недель болезнь унесла его. Потрясенный

    происшедшим, Куммер поклялся сделать все, что в его силах, чтобы избавить

    родину от нового вражеского вторжения, — и по окончании университета

    направил свой интеллект на решение проблемы построения траекторий пушечных

    ядер. Позднее он преподавал в Берлинском военном училище законы баллистики.

    Параллельно с военной карьерой Куммер активно занимался исследованиями в

    области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в

    Французской Академии. Куммер внимательно прочитал публикации в Трудах

    Академии и проанализировал те немногие детали, которые рискнули раскрыть

    Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и

    того же логического тупика, — и свои соображения он изложил в письме к

    Лиувиллю.

    Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за

    пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был

    блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому

    поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую

    трудную в мире математическую проблему.

    После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как

    никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые

    области. Возник риск, что новое поколение математиков останется в неведении

    относительно неразрешимой проблемы.

    Новый импульс

    В 1908 году Пауль Вольфскель, немецкий промышленник из Дармштадта, вдохнул

    в старую проблему новую жизнь. Семья Вольфскелей славилась своим богатством

    и покровительством искусствам и наукам, и Пауль не был исключением. В

    университете он изучал математику и хотя свою жизнь Пауль посвятил

    строительству империи семейного бизнеса, все же он поддерживал контакт с

    профессиональными математиками и продолжал на любительском уровне

    заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли

    найти доказательство Великой теоремы Ферма. Вольфскель отнюдь не был

    одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски

    доказательства Великой теоремы Ферма. Но цепочка неординарных событий

    привела к тому, что его имя оказалось навсегда связанным с теоремой Ферма и

    вдохновило тысячи людей заняться поиском ее доказательства.

    История начинается с того, что Вольфскель впал в такое глубокое отчаяние,

    что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не

    импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою

    смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в

    голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель

    решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний

    день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

    Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до

    полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в

    библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на

    глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему

    потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых

    значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше

    подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство.

    Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера.

    Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал

    некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях.

    Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть

    рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое

    должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать

    ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все

    его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки

    зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера

    удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной.

    Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а

    Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел

    в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись

    сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

    Вольфскель разорвал свои прощальные письма и переписал свое завещание в

    свете случившегося в ту ночь. После его смерти, последовавшей в 1908 году,

    завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: выяснилось, что

    Пауль завещал значительную часть своего состояния в качестве премии тому,

    кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1

    000 000 фунтов стерлингов в современных масштабах) была той суммой, которую

    Вольфскель счел своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему,

    спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счет Королевского научного

    общества Гёттингена, которое в том же году официально объявило о проведении

    конкурса на соискание премии Вольфскеля:

    О премии Вольфскеля было объявлено во всех математических журналах, и весть

    о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Несмотря на широкую

    рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной

    премии, Комиссии Вольфскеля не удалось вызвать особый интерес у серьезных

    математиков. Большинство профессиональных математиков считали поиск

    доказательства Великой теоремы Ферма безнадежным делом и решительно

    отказывались тратить свое драгоценное время на такое бесполезное занятие.

    Однако премии Вольфскеля удалось внедрить проблему Ферма в сознание

    совершенно новой аудитории — невидимой армии жаждущих знания молодых умов,

    жаждущих испытать себя на решении неприступной головоломки и не видящих

    ничего зазорного в том, что они приступают к поиску доказательства с явно

    недостаточным багажом.

    Через несколько недель после объявления конкурса на соискание премии

    Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств».

    Не удивительно, что все они до одного оказались ошибочными. И хотя каждый

    из участников конкурса был убежден, что именно ему удалось решить проблему,

    пережившую столетия, но во всех присланных доказательствах неизбежно была

    какая-нибудь тонкая, а иногда и не очень тонкая — ошибка. Искусство теории

    чисел настолько абстрактно, что необычайно легко сойти с верного

    логического пути и незаметно заблудиться, даже впасть в абсурд. В

    Приложении 7 показана классическая ошибка такого сорта, которую легко может

    допустить энтузиаст-любитель.

    Независимо от того, кто был отправителем того или иного доказательства,

    каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, если неизвестному

    любителю все же удастся найти столь давно разыскиваемое доказательство.

    Деканом математического факультета Гёттингенского университета с 1909 по

    1934 годы был профессор Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность

    разбирать все доказательства, присланные на соискание премии Вольфскеля.

    Ландау был вынужден то и дело прерывать свои собственные исследования,

    поскольку ему нужно было разбирать десятки ошибочных доказательств,

    поступавших к нему на стол каждый месяц. Чтобы справиться с ситуацией,

    профессор Ландау изобрел изящный метод, позволивший избавиться от

    докучливой работы. Профессор попросил напечатать несколько сотен карточек,

    на которых значилось:

    |Уважаемый(ая) . . . . . . . . |

    |Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством |

    |Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в |

    |строке ... . Из-за нее все доказательство утрачивает силу. |

    |Профессор Э. М. Ландау |

    Каждое из полученных доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау

    вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.

    Доказательства продолжали поступать непрерывным потоком в течение

    нескольких лет. Некоторые из величайших фигур XX века — в том числе Бертран

    Рассел, Давид Гильберт и Курт Гёдель пытались разобраться в наиболее

    глубоких свойствах чисел, чтобы постичь их истинное значение и установить,

    какие проблемы теории чисел разрешимы, а какие — что гораздо важнее —

    неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на

    судьбах Великой теоремы Ферма.

    Парадокс математики

    Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным

    посланием всем математикам, профессионалам и любителям, которые продолжали

    свои попытки доказать Великую теорему Ферма. А что, если Великая теорема

    Ферма неразрешима?! А вдруг Пьер де Ферма заблуждался, когда утверждал, что

    располагает доказательством? Если так, то доказательство Великой теоремы

    Ферма может оказаться не просто трудным, а невозможным. Если Великая

    теорема Ферма неразрешима, то математики столетиями пытались найти

    доказательство, которое не существует.

    Интересно заметить, что если бы Великая теорема Ферма оказалась

    неразрешимой, то отсюда следовало бы, что она истинна. Если бы Великая

    теорема Ферма оказалась ложной, то доказать ее было бы можно, предъявив

    решение (контрпример). Это означало бы, что Великая теорема Ферма

    разрешима. Итак, если бы теорема была ложной, то это противоречило бы ее

    неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была истинной, то столь

    определенный способ ее доказательства не обязательно существовал бы, т.е.

    она могла бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая

    теорема Ферма истинна, но не существует способа доказать ее.

    Подход с позиции грубой силы

    Современные компьютеры успевают за долю секунды произвести больше

    арифметических операций, чем Ферма сделал за всю свою жизнь. Те математики,

    которые все еще вели неравную борьбу с Великой теоремой Ферма, начали

    компьютерную атаку на проблему, полагаясь на компьютерную версию подхода,

    развитого Куммером в XIX веке. С появлением компьютера большому объему

    вычислений, связанных с доказательством Великой теоремы Ферма, стало

    возможно противопоставить быстродействие вычислительных машин. И после

    второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую

    теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1000, а позже до 10000.

    В 80-е годы Сэмюэль С. Вагстафф из университета Пурду поднял предел до 25

    000, а совсем недавно математики заявили, что Великая теорема Ферма верна

    при всех значениях n до 4 миллионов.

    И хотя нематематикам могло бы показаться, что положение с доказательством

    Великой теоремы Ферма, наконец, стало лучше, математическое сообщество

    сознавало, что успех носит чисто косметический характер. Даже если бы

    суперкомпьютеры провели десятилетия в непрерывных вычислениях, доказывая

    Великую теорему Ферма при значениях n одно за другим, то и тогда им не

    удалось бы доказать теорему для каждого значения n до бесконечности, и

    поэтому никто не мог бы утверждать, что Великая теорема Ферма доказана во

    всей общности. Ведь даже если бы теорему удалось доказать для n до

    миллиарда, то и тогда не было бы никаких причин, по которым она должна была

    бы быть верна для n, равного миллиарду плюс один. Если бы теорему удалось

    доказать для n до триллиона, то нет причин, по которым она должна была бы

    быть верна для n, равного триллиону плюс один, и т.д. до бесконечности.

    Бесконечность недостижима за счет одной лишь грубой силы — перемалывания

    чисел с помощью компьютера.

    Уход в абстракцию

    Танияма родился 12 ноября 1927 года в небольшом городке в нескольких

    километрах к северу от Токио. Он не отличался особенно крепким здоровьем,

    часто хворал, а став подростком, заболел туберкулезом и пропустил два года

    в средней школе. Разразившаяся война вызвала еще более продолжительный

    перерыв в его образовании.

    Горо Шимура, бывший на один год младше Таниямы, вынужден был совсем не

    учиться в военные годы. Его школу закрыли, и вместо уроков Шимура был

    вынужден работать на заводе, собирая детали самолетов. Каждый вечер он

    пытался самостоятельно заниматься по школьной программе. Особенно его

    влекла математика. «Разумеется, приходилось изучать многие предметы, но

    особенно легко мне давалась математика. Я запоем читал учебники математики.

    По учебникам я выучил математический анализ. Я никогда не думал, будто

    обладаю какими-то способностями к математике. Просто мне было интересно».

    Через несколько лет после окончания войны Шимура и Танияма были уже

    студентами университета. Хотя Шимура был не чужд некоторых причуд (он и

    поныне питает слабость к анекдотам о мудрецах, проповедующих дзен-буддизм),

    он был более консервативен и традиционен, чем его коллега. Шимура

    поднимался на рассвете и сразу же приступал к работе. Танияма же частенько

    не ложился спать, проработав всю ночь напролет. Те, кто заглядывал днем к

    нему в номер, нередко заставали его спящим. Шимура был скрупулезен и строг,

    Танияма небрежен, почти ленив. Одна вышедшая из моды тема, а именно,

    исследование модулярных форм, казалась особенно привлекательной Танияме и

    Шимуре, Модулярные формы — один из самых причудливых и чудесных объектов в

    математике. Современный специалист по теории чисел Эйхлер причислил их к

    одной из пяти фундаментальных операций, т.е. умение обращаться с

    модулярными формами он считал настолько же важным, как и выполнение четырех

    действий арифметики. Надо сказать, что далеко не все математики уверенно

    чувствуют себя, сталкиваясь с этой пятой операцией, в отличие от первых

    четырех, где они считают себя мастерами.

    К сожалению, ни нарисовать, ни даже наглядно представить себе модулярную

    форму невозможно. Модулярную форму можно представлять себе как функцию,

    область определения которой находится в двух измерениях, но область

    значений которой также двумерна. Поэтому если бы мы хотели посмотреть на

    график такой функции, то он оказался бы в четырехмерном пространстве.

    Отличительной особенностью модулярных форм является их необычайно высокий

    уровень симметрии, бесконечная, неисчерпаемая симметрия. Модулярные формы

    можно подвергать трансляциям (параллельным переносам, или сдвигам),

    перестраивать, переставлять фрагменты, отражать в зеркалах и поворачивать

    бесконечно многими способами, и при этом они останутся неизменными, что

    делает их наиболее симметричными математическими объектами.

    В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум. Для молодых

    японских математиков это была уникальная возможность продемонстрировать

    остальному миру свои результаты. Они распространили среди участников

    симпозиума подборку из тридцати шести задач, связанных с той проблемой, над

    которой они работали. Четыре задачи были предложены Таниямой и указывали на

    любопытную связь между модулярными формами и эллиптическими кривыми. Эти

    невинные задачи в конце концов привели к перевороту в теории чисел.

    Название «эллиптические кривые» способно ввести в заблуждение потому, что

    они не эллипсы и даже не кривые в обычном смысле слова. Речь, скорее, идет

    об уравнениях вида

    y2 = x3 + ax2 + bx + c,

    где a, b, c — некоторые числа.

    Свое название эллиптические кривые получили потому, что некоторые функции,

    тесно связанные с этими кривыми, потребовались для измерения длин эллипсов

    (а, следовательно, и длин планетных орбит). Уравнения такого вида

    называются кубическими. Проблема эллиптических кривых, как и проблема

    доказательства Великой теоремы Ферма, заключается в вопросе, имеют ли

    соответствующие им уравнения целочисленные решения, и если имеют, то

    сколько.

    Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на

    симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде.

    Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических

    кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать

    сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании

    гипотезы Таниямы–Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена

    Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению,

    если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы–Шимуры, то тем самым

    Страницы: 1, 2, 3


    Приглашения

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хореографического искусства в рамках Международного фестиваля искусств «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хорового искусства в АНДОРРЕ «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»




    Copyright © 2012 г.
    При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.