Эйлеровы и гамильтоновы графы

веса, проходящий по G, будет иметь вес, равный сумме весов всех ребер из G

плюс сумма весов ребер в цепях из M*. Это то же самое, что и сумма весов

всех ребер — реальных и искусственных — графа G-(M*).

Описание алгоритма решения задачи китайского почтальона:

Пусть [cij] — матрица весов ребер G. Используя алгоритм нахождения

кратчайшей цепи, образуем |X-|*|X-| — матрицу D=[dij], где dij — вес цепи

наименьшего веса, идущей из некоторой вершины xi[pic]X- в другую вершину

xj[pic]X-.

Найдем то цепное паросочетание M* для множества X-, которое дает наименьший

вес (в соответствии с матрицей весов D). Это можно сделать эффективно с

помощью алгоритма минимального паросочетания.

Если вершина x? сочетается с другой вершиной x?, то определим цепь ???

наименьшего веса (из x? в x?), соответствующую весу d??, делая шаг 1.

Добавим искусственные ребра в G, соответствующие ребрам из ???, и проделаем

это для всех других цепей из множества M*, в результате чего получится граф

G-(M*).

Сумма весов всех ребер графа G-(M*), найденная с использованием матрицы

[cij] (вес искусственного ребра берется равным весу параллельного ему

реального ребра), равна минимальному весу цикла, проходящего по G. При этом

число прохождений цикла по ребру (xi,xj) равно общему числу параллельных

ребер между xi и xj в G-(M*).

Покажем, что указанный выше алгоритм строит минимальный цикл. Для

этого следует заметить, что поскольку на шаге 2 мы используем минимальное

паросочетание, никакие две кратчайшие цепи ?ij и ?pq при таком

паросочетании (скажем, идущие из xi в xj и из xp в xq) не могут иметь

общего ребра. Если бы они имели общее ребро (xa, xb), то сочетание вершин

xi и xq (использующее подцепи от xi к xb и от xb к xq) и сочетание пары

вершин xp и xj (использующее подцепи от xp к xa и от xa к xj) давало бы

общее паросочетание веса 2cab, меньшего чем вес первоначального

паросочетания, что противоречит предположению о минимальности исходного

паросочетания. Следовательно, граф G-(M*)не должен содержать более двух

параллельных ребер между любыми двумя вершинами, т.е. оптимальный цикл не

проходит ни по какому ребру графа G более чем два раза.

Глава 2. Гамильтоновы циклы

Название «гамильтонов цикл» произошло от задачи «Кругосветное

путешествие» предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в

1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все его

вершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладку

додекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупного

города мира.

§1. Основные понятия и определения

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному

разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется

гамильтоновым графом. Граф, который содержит простой путь, проходящий через

каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Это определение можно

распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным.

Гамильтонов цикл не обязательно содержит все ребра графа. Ясно, что

гамильтоновым может быть только связный граф и, что всякий гамильтонов граф

является полугамильтоновым. Заметим, что гамильтонов цикл существует далеко

не в каждом графе.

Замечание.

Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное

количество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v1,…,vp графа

G добавить вершины u1,…,up и множество ребер {(vi,ui)}[pic]{(ui,vi+1)}.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при

этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают

степень do(v) по выходящим дугам и di(v) — по входящим.

§2. Условия существования гамильтонова цикла

В отличии от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть

эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Более того, задача

проверки существования гамильтонова цикла оказывается NP-полной.

Большинство известных фактов имеет вид: «если граф G имеет достаточное

количество ребер, то граф является гамильтоновым». Приведем несколько таких

теорем.

Теорема Дирака. Если в графе G(V,E) c n вершинами (n ? 3) выполняется

условие d(v) ? n/2 для любого v[pic]V, то граф G является гамильтоновым.

Доказательство.

От противного. Пусть G — не гамильтонов. Добавим к G минимальное

количество новых вершин u1, … ,un, соединяя их со всеми вершинами G так,

чтобы G’:= G + u1 + … + un был гамильтоновым.

Пусть v, u1, w, … ,v — гамильтонов цикл в графе G’, причем v[pic]G,

u1[pic]G’, u1[pic]G. Такая пара вершин v и u1 в гамильтоновом цикле

обязательно найдется, иначе граф G был бы гамильтоновым. Тогда w[pic]G, w

[pic] {u1,…,un}, иначе вершина u1 была бы не нужна. Более того, вершина v

несмежна с вершиной w, иначе вершина u1 была бы не нужна.

Далее, если в цикле v,u1,w, … ,u’,w’, … ,v есть вершина w’, смежная с

вершиной w, то вершина v’ несмежна с вершиной v, так как иначе можно было

бы построить гамильтонов цикл v,v’, … ,w,w’, … ,v без вершины u1, взяв

последовательность вершин w, … ,v’ в обратном порядке. Отсюда следует, что

число вершин графа G’, не смежных с v, не менее числа вершин, смежных с w.

Но для любой вершины w графа G d(w) ? p/2+n по построению, в том числе d(v)

? p/2+n. Общее число вершин (смежных и не смежных с v) составляет n+p-1.

Таким образом, имеем:

n+p-1 = d(v)+d(V) ? d(w)+d(v) ? p/2+n+p/2+n = 2n+p.

Следовательно, 0 ? n+1, что противоречит тому, что n > 0.

Теорема Оре. Если число вершин графа G(V,E) n ? 3 и для любых двух

несмежных вершин u и v выполняется неравенство:

d(u)+d(v) ? n и [pic](u,v)[pic]E, то граф G — гамильтонов.

Граф G имеет гамильтонов цикл если выполняется одно из следующих

условий:

Условие Поша: d(vk) ? k+1 для k < n/2.

Условие Бонди: из d(vi) ? i и d(vk) ? k => d(vi)+d(vk)?n (k?i)

Условие Хватала: из d(vk) ? k ? n/2 => d(vn-k) ? n-k.

Далее, известно, что почти все графы гамильтоновы, то есть

где H(p) — множество гамильтоновых графов с p вершинами, а G(p) —

множество всех графов с p вершинами. Таким образом, задача отыскания

гамильтонова цикла или эквивалентная задача коммивояжера являются

практически востребованными, но для нее неизвестен (и, скорее всего не

существует) эффективный алгоритм решения.

Пример графа, когда не выполняется условие теоремы Дирака, но граф

является гамильтоновым.

[pic]

N = 8; d(vi) = 3; 3 ? 8/2 = 4 не гамильтонов граф, но существует

гамильтонов цикл: M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1)

§3. Задачи связанные с поиском гамильтоновых циклов

В ряде отраслей промышленности возникает следующая задача

планирования. Нужно произвести n продуктов, используя единственный тип

аппаратуры. Аппарат должен быть перенастроен после того как был произведен

продукт pi (но до того как начато производство продукта pj), в зависимости

от комбинации (pi,pj). Стоимость перенастройки аппаратуры постоянна и не

зависит от производимых продуктов. Предположим, что эти продукты

производятся в непрерывном цикле, так что после производства последнего из

n продуктов снова возобновляется в том же фиксированном цикле производство

первого продукта.

Возникает вопрос о том, может ли быть найдена циклическая

последовательность производства продуктов pi (i=1,2,…,n), не требующая

перенастройки аппаратуры. Если представить эту задачу в виде

ориентированного графа, то ответ на поставленный вопрос зависит от того,

имеет ли этот ориентированный граф гамильтонов цикл или нет.

Если не существует циклической последовательности продуктов, не

требующей перенастройки аппаратуры, то какова должна быть

последовательность производства с наименьшими затратами на перенастройку,

т.е. требующая наименьшего числа необходимых перенастроек?

Таким образом мы рассмотрим следующие две задачи.

Задача 1. Дан ориентированный граф G, требуется найти в G гамильтонов

цикл (или все циклы), если существует хотя бы один такой цикл.

Задача 2. Дан полный ориентированный цикл G, дугам которого приписаны

произвольные веса C=[cij], найти такой гамильтонов цикл, который имеет

наименьший общий вес. Следует отметить, что если ориентированный граф G не

полный, то его можно рассматривать как полный ориентированный граф,

приписывая отсутствующим дугам бесконечный вес.

Алгоритмы решения задачи коммивояжера и ее вариантов имеют большое

число практических приложений в различных областях человеческой

деятельности. Рассмотрим, например, задачу в которой грузовик выезжает с

центральной базы для доставки товаров данному числу потребителей и

возвращается назад на базу. Стоимость перевозки пропорциональна пройденному

грузовиком расстоянию, и при заданной матрице расстояний между

потребителями маршрут с наименьшими транспортными затратами получается как

решение соответствующей задачи коммивояжера. Аналогичные типы задач

возникают при сборе почтовых отправлений из почтовых ящиков, составлении

графика движения школьных автобусов по заданным остановкам и т.д. Задача

очень легко обобщается и на тот случай, когда доставкой (сбором) занимаются

несколько грузовиков, хотя эту задачу можно также переформулировать как

задачу коммивояжера большей размерности. Другие приложения включают

составление расписания выполнения операций на машинах, проектирование

электрических сетей, управление автоматическими линиями и т.д.

Очевидно, что сформулированная выше задача (1) является частным

случаем задачи (2). В самом деле, приписывая случайным образом дугам

заданного ориентированного графа G конечные веса, получаем задачу

коммивояжера. Если решение для этой задачи, т.е. кратчайший гамильтонов

цикл, имеет конечное значение, то это решение является гамильтоновым циклом

ориентированного графа G (т.е. ответом на задачу 1). Если же решение имеет

бесконечное значение, то G не имеет гамильтонова цикла.

С другой стороны можно дать еще одну интерпретацию задачи 1).

Рассмотрим снова полный ориетированный граф G1 с общей матрицей весов дуг

[cij] и рассмотрим задачу нахождения такого гамильтонова цикла, в котором

самая длинная дуга минимальна. Эту задачу можно назвать минимаксной задачей

коммивояжера. Тогда классическую задачу коммивояжера в той же терминологии

можно было бы назвать минисуммной задачей коммивояжера. Покажем теперь, что

задача (1) действительно эквивалентна минимаксной задаче коммивояжера.

В вышеупомянутом полном ориентированном графе G1 мы можем наверняка

найти гамильтонов цикл. Пусть это будет цикл Ф1, и пусть вес самой длинной

его дуги равен ?1. Удалив из G1 любую дугу, вес которой не меньше ?1,

получим ориентированный граф G2. Найдем в ориентированном графе G2

гамильтонов цикл Ф2, и пусть вес его самой длинной дуги равен ?2. Удалим из

G2 любую дугу, вес которой не меньше ?2, и так будем продолжать до тех пор,

пока не получим ориентированный граф Gm+1, не содержащий никакого

гамильтонова цикла. Гамильтонов цикл Фm в Gm (с весом ?m) является тогда по

определению решением минимаксной задачи коммивояжера, так как из отсутствия

гамильтонова цикла в Gm+1 следует, что в G1 не существует никакого

гамильтонова цикла, не использующего по крайней мере одну дугу с весом,

большим или равным ?m.

Таким образом, алгоритм нахождения гамильтонова цикла в

ориентированном графе решает также минимаксную задачу коммивояжера.

Наоборот, если мы располагаем алгоритмом решения последней задачи, то

гамильтонов цикл в произвольном ориентированном графе G может быть найден с

помощью построения полного ориентированного графа G1 с тем же самым

множеством вершин, что и в G, дугам которого, соответствующим дугам из G,

приписаны единичные веса, а остальным дугам — бесконечные веса. Если

решение минимаксной задачи коммивояжера для G1 имеет конечный вес (на самом

деле равный единице), то в графе G может быть найден соответствующий

гамильтонов цикл. Если же решение имеет бесконечный вес, то в графе G не

существует никакого гамильтонова цикла. Следовательно, две указанные задачи

можно рассматривать как эквивалентные, поскольку было продемонстрировано,

что алгоритм нахождения гамильтонова цикла позволяет решать минимаксную

задачу коммивояжера и наоборот.

Ввиду того, что обе сформулированные выше задачи (1) и (2) часто

встречаются в практических ситуациях и (как мы увидим позже) задачу (1)

саму по себе решить намного проще, чем как подзадачу задачи (2), мы обе эти

задачи рассмотрим по отдельности.

§4. Методы построения гамильтоновых циклов в графе.

Пока неизвестно никакого простого критерия или алгебраического метода,

позволяющего ответить на вопрос, существует или нет в произвольном графе G

гамильтонов цикл. Критерии существования, данные выше, представляют

теоретический интерес, но являются слишком общими и не пригодны для

произвольных графов, встречающихся на практике. Алгебраические методы

определения гаильтоновых циклов не могут быть применены с более чем

несколькими десятками вершин, так как они требуют слишком большого времени

работы и большой памяти компьютера. Более приемлемым является способ

Робертса и Флореса, который не предъявляет чрезмерных требований к памяти

компьютера, но время в котором зависит экспоненциально от числа вершин в

графе. Однако другой неявный метод перебора имеет для большинства типов

графов очень небольшой показатель роста времени вычислений в зависимости от

числа вершин. Он может быть использован для нахождения гамильтоновых циклов

в очень больших графах. Ниже будут описаны алгебраический метод, перебор с

возвратами, его улучшение, мультицепной метод.

§5. Алгебраический метод построения гамильтоновых циклов

Этот метод включает в себя построение всех простых цепей с помощью

последовательного перемножения матриц. «Внутреннее произведение вершин»

цепи x1, x2, … ,xk-1, xk определяется как выражение вида x2*x3* … xk-1, не

содержащее две концевые вершины x1 и xk. «Модифицированная матрица

смежности» B=[?(i,j)] — это (nЧn)- матрица, в которой ?(i,j) — xj, если

существует дуга из xi в xj и нуль в противном случае. Предположим теперь,

что у нас есть матрица PL = [pL(i ,j)], где pL(i,j) — сумма внутренних

произведений всех простых цепей длины L (L?1) между вершинами xi и xj для

xi?xj. Положим pL(i,i)=0 для всех i. Обычное алгебраическое произведение

матриц B*PL = P’L+1 = [p’L+1(s,t)] определяется как

т.е. p’L+1(s,t) является суммой внутренних произведений всех цепей из xs в

xt длины l+1. Так как все цепи из xk в xt, представленные внутренними

произведениями из pL(k,t), являются простыми, то среди цепей, получающихся

из указанного выражения, не являются простыми лишь те, внутренние

произведения которых в pL(k,t) содержат вершину xs. Таким образом, если из

p’L+1(s,t) исключить все слагаемые, содержащие xs (а это можно сделать

простой проверкой), то получим pL+1(s,t). Матрица PL+1=[pL+1(s,t)], все

диагональные элементы которой равны 0, является тогда матрицей всех простых

цепей длины L+1.

Вычисляя затем B*PL+1, находим PL+2 и т.д., пока не будет построена

матрица Pn-1, дающая все гамильтоновы цепи (имеющие длину n-1) между всеми

парами вершин. Гамильтоновы циклы получаются тогда сразу из цепей в Pn-1 и

тех дуг из G, которые соединяют начальную и конечную вершины каждой цепи. С

другой стороны, гамильтоновы циклы даются членами внутреннего произведения

вершин, стоящими в любой диагональной ячейке матрицы B*Pn-1 (все

диагональные элементы этой матрицы одинаковые).

Очевидно, что в качестве начального значения матрицы P (т.е. P1)

следует взять матрицу смежности A графа, положив все ее диагональные

элементы равными нулю.

Недостатки этого метода совершенно очевидны. В процессе умножения

матриц (т.е. когда L увеличивается) каждый элемент матрицы PL будет

состоять из все большего числа членов вплоть до некоторого критического

значения L, после которого число членов снова начнет уменьшаться. Это

происходит вследствие того, что для малых значений L и для графов, обычно

встречающихся на практике, число цепей длины L+1, как правило, больше, чем

число цепей длины L, а для больших значений L имеет место обратная картина.

Кроме того, так как длина каждого члена внутреннего произведения вершин

увеличивается на единицу, когда L увеличивается на единицу, то объем

памяти, необходимый для хранения матрицы PL, растет очень быстро вплоть до

максимума при некотором критическом значении L, после которого этот объем

снова начинает уменьшаться.

Небольшая модификация вышеприведенного метода позволяет во много раз

уменьшить необходимый объем памяти и время вычислений. Так как нас

интересуют только гамильтоновы циклы и, как было отмечено выше, они могут

быть получены из членов внутреннего произведения любой диагональной ячейки

матрицы B*Pn-1, то необходимо знать только элемент pn-1(1,1). При этом на

каждом этапе не обязательно вычислять и хранить всю матрицу PL, достаточно

лишь найти первый столбец PL. Эта модификация уменьшает необходимый объем

памяти и время вычислений в n раз. Однако даже при использовании этой

модификации программа для ЭВМ, написанная на языке PL/1, который позволяет

построчную обработку литер и переменное распределение памяти, не была

способна найти все гамильтоновы циклы в неориентированных графах с более

чем примерно 20 вершинами и средним значением степени вершины, большим 4.

Использовался компьютер IBM 360/65 с памятью 120 000 байтов. Более того,

даже для графа с вышеуказанными «размерами» данный метод использовал

фактически весь объем памяти и время вычислений равнялось 1.8 минуты. Не

такое уж незначительное время для столь небольшого графа.

§6. Метод перебора Робертса и Флореса

В противоположность алгебраическим методам, с помощью которых пытаются

найти сразу все гамильтоновы циклы и при реализации которых приходится

хранить поэтому все цепи, которые могут оказаться частями таких циклов,

метод перебора имеет дело с одной цепью, непрерывно продлеваемой вплоть до

Страницы: 1, 2, 3, 4