Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь

решателю, Д.Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли

удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного?

или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво?

Вроде бы Пойа предполагает решение самых обычных, школьных задач,

однако он не исключает возможности наличия некоторых "аномалий" в условии

задачи, к существованию которых ученики должны быть готовы.

П.Эрдниев в своей книге [24, с.24,40] предлагает использовать в

обучении математике задачи с неполным составом условия ещё с младших

классов, причём он считает, что использование таких задач (деформированных

примеров, как он их называет) позволяет проводить обучение опережающими

темпами, с их помощью можно коренным образом изменить мыслительные процессы

решающего, превратив их в более сложные, более содержательные и потому

лучше развивающие способности ученика.

У Н.Метельского встречается такая классификация задач. Между условием

задачи (А) и её требованием (Х) может быть различное соотношение,

определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколько

определённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи

условно можно изобразить формулой импликации А=>Х, которую будем понимать

так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных для

выполнения требования Х. Если из условия А какое–либо данное опустить, то

получим неопределённую задачу. Она имеет бесконечное множество решений,

зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра),

которой принадлежало значение, выброшенное из условия. Наконец, условие

может содержать, кроме А, некоторое дополнительное данное, и тогда задача

называется переопределённой. В частном случае это "лишнее" данное может

вытекать из тех, что уже имеются в задаче, и тогда задача оказывается

определённой задачей. В остальных случаях переопределённая задача не имеет

решения, поскольку её данные противоречат друг другу, несовместимы.

Основные функции задач в обучении выполняют определённые задачи, однако

известную пользу, по мнению Н.Метельского, приносит учащимся знакомство с

неопределёнными и переопределёнными задачами. [14, с.176(177]

Задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что: они не

обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность

учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач, а

также допускают как несколько способов решения, так и несколько решений

вообще.

В подтверждение этого мнения интересные факты приводит в своей статье

"Остроугольный или тупоугольный?" И.Дегтянникова. Она пишет: "Решая задачу,

часто даже не задумываемся о реальности её условия. Поэтому правы те

авторы, которые включают в свои учебники задачи с нереальными условиями.

Это заставляет проверять условия у всех задач. Кроме того, нереальные

задачи – это готовая проблемная ситуация». [4]

Отсутствие указанных задач в школьных учебниках приводит к тому, что и

учителя не ориентируют свои умения на такие задачи, в результате чего их

педагогическая подготовка содержит изъяны.

В заметке [5] В.Игнатенко пишет об ошибке, найденной в учебнике [1]. В

этом учебнике на с.135 приведена задача 536(б). Вот её текст: "Отрезок BD

является биссектрисой треугольника АBC. Найдите DC, если AB=30, AD=20,

BD=16 и (BDC=(C.

Вроде бы ничего особенного в этой задаче нет. Однако автор, проведя

решение двумя различными способами, заметил, что ответы в них не совпадают.

Попытка смоделировать треугольник с данными, указанными в задаче, показала,

что данные содержали противоречие. Оказывается, маститые авторы популярного

учебника, включив противоречивую задачу в свой учебник, не заметили её

противоречивости, как не замечали её и тысячи учителей, несколько лет

работавших по этому учебнику.

Присутствие такой задачи (пока что только одной) в учебнике геометрии

– только на пользу ученикам и учителям. Жаль, что эта задача – результат

случайной оплошности авторского коллектива, а не результат её закономерного

выбора.

Как пишет М.Буловацкий в своей статье [2], школьник, как правило,

игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или

противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют

размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда

имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по

мнению М.Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования

школьников.

По результатам эксперимента, описанного в статье, переопределённые (с

избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных)

задачи ставят большинство школьников в тупик, из которого они зачастую не в

состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем, что у

школьников не отработан навык отбора и предварительной оценки данных

задачи. Как считает М.Буловацкий, отработке этого навыка нужно уделять

специальное учебное время. [2]

Итак, анализ литературных источников выявляет важную для

математического образования проблему: многие педагоги–исследователи

указывают на целесообразность использования в обучении задач с

«аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти не

реагируют.

Нас заинтересовала эта проблема с разных точек зрения. Во–первых,

насколько полезно включение таких задач в школьный курс математики?

Во–вторых, нужно ли специальное обучение учащихся решению таких задач? И

если нужно, то каковы методические особенности такого обучения?

Поискам ответов на эти вопросы и посвящена настоящая работа.

I. Как ученики реагируют на «аномальные» задачи?

(констатирующие эксперименты)

Предварительно мы показали, что многие известные в педагогике учёные

считают полезным включение неопределённых и переопределённых задач в

процесс обучения. Почему же большинство учебников уделяет такое слабое

внимание этим задачам? Может быть, учащиеся и без специального обучения в

состоянии решать такие задачи? По крайней мере, выводы В.Крутецкого близки

к утвердительному ответу. Но имеются и другие мнения.

Чтобы ответить на этот вопрос, был проведён ряд констатирующих

экспериментов в разных классах.

Так, в период педагогической практики в 1997 году был проведен

небольшой эксперимент в средней школе № 3 г. Орша.

Ученикам 6 класса, в составе которого на момент проведения

эксперимента было 25 человек, на самостоятельной работе в качестве

дополнительного задания была предложена следующая задача: в прямоугольнике

стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти площадь

прямоугольника. При решении этой задачи в классе выделилось несколько

групп: 1 ученик не решил её вообще, мотивировав это тем, что не успел этого

сделать; 2 ученика решили эту задачу полностью с объяснением того, почему

они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не

проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон; 1 ученик

(кстати, участник областной олимпиады по математике) решил эту задачу

полностью и проверил соответствие в ней данных друг другу, но при этом

возился с решением около 10 минут, а остальные ученики просто написали

ответ к задаче без каких бы то ни было объяснений к нему.

После решения задания с учеником, полностью решившим задачу, была

проведена беседа о том, с какими трудностями он столкнулся в процессе

решения задачи, и выяснилось, что, решая эту задачу, он вначале думал, что

в задаче даны два прямоугольника, площадь одного из которых он нашел сразу

же и долго вычислял, как можно выразить площадь прямоугольника через его

периметр. Но потом проверил, что длина периметра полностью соответствует

длинам сторон, и решил, что в задаче речь идет об одном и том же

прямоугольнике, а периметр дан только для того, чтобы запутать решение. На

следующем уроке класс изъявил желание узнать, как же правильно решается эта

задача. Им было подробно объяснено, что периметр в задаче является лишним

данным и его не нужно использовать для решения, но в данной ситуации длины

сторон в задаче соответствуют периметру, что бывает не всегда и требует

проверки. После чего была предложена для решения задача аналогичного

характера, но содержащая противоречие в тексте: в прямоугольнике длины

сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти

периметр прямоугольника. Как и ожидалось, все 25 учащихся решили эту задачу

без использования площади и записали ответ. Все посчитали, что площадь в

задаче является лишним данным, но никто не счёл нужным проверить,

соответствуют ли данные друг другу. Результат самостоятельной работы

(отсутствие "пятёрок" в работе с несложными задачами) заставил их всё же

задуматься. Очередная беседа на ту же тему была воспринята ими уже с

большим вниманием и пониманием. Учащиеся с большим интересом стали

относиться к "не таким" (их определение) задачам, а позже и сами стали

сочинять задачи с лишними данными, предлагая их друг другу и учителю как на

уроках, так и вне уроков.

Нам представляется, что этот интерес можно объяснить новой необычной

ситуацией в сфере знакомых вещей: для решения таких задач новых знаний не

требуется, но требуется новый подход к ним, новые мыслительные приёмы. Т.е.

происходит "шлифовка" мышления, его тренаж, что вполне соответствует

запросам растущего организма.

Был проведен эксперимент и в 10 классе той же школы, где на момент

эксперимента было 13 учащихся. Им была предложена для решения следующая

текстовая задача: в одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в

другой мензурке – такое же количество воды. Для приготовления раствора

сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3

раствора, получившегося во второй мензурке перелили в первую. После этого в

первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй

мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все 13 учеников смогли верно составить уравнение, провести его решение

и записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом все

прекратили решение задачи. Далее им было предложено вернуться к условию

задачи, и попробовать подставить полученный результат в условие. Здесь

сразу же возникли трудности, поскольку из мензурки, содержащей 12 г

жидкости, требовалось вылить 30 г. Ученики отказывались понимать, как могло

так получиться, что задача красиво решилась, но то, что получили в качестве

ответа, не подходило по тексту задачи. Непонятным было также и то, как

можно записать в ответе, что нет решения, когда на самом деле оно есть.

Задача вызвала резко негативное отношение десятиклассников, которые

считали бесполезным решение таких задач для своего образования. Они

требовали от учителя предлагать им для решения "нормальные" задачи, какие

им и придётся решать при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, эксперимент показал не только недостаточное развитие

мышления старшеклассников, но и то, что у них уже отсутствует стремление к

такому развитию. Они сами (полагаем, не без участия учителей) определили

себе "потолок" своего развития, своей образованности, что в принципе для

человека ненормально.

Аналогичный мини–эксперимент был проведён и в ходе преддипломной

педагогической практики в сентябре – октябре 1998 года. Он проводился с

учащимися средней школы № 2 г. Орши. В эксперименте принимали участие

ученики 11–го класса, который является лицейским классом при Могилёвском

машиностроительном институте (выпускные экзамены по математике и физике в

этом классе совмещены со вступительными экзаменами в институт). Уровень

преподавания математики в этом классе достаточно высок (три ученика –

участники областной олимпиады по математике, один – её призёр).

Этим учащимся были предложены на уроке для самостоятельного решения

следующие задачи:

В параллелограмме стороны 3 см и 5 см, а высота 4 см. Найти площадь

параллелограмма.

В параллелограмме стороны 4 см и 5 см, а высота 3 см. Найти площадь

параллелограмма.

С первой задачей возникли проблемы следующего характера: часть

учеников, не обратив внимания на то, что в данной задаче параллелограмм

определяется однозначно (высота 4 см может быть проведена только к стороне

3 см), выдали два ответа (12 см2 и 20 см2); ещё одна часть учеников

остановилась на одном решении, просто не рассмотрев возможный второй случай

(ответ либо 12 см2 либо 20 см2); и лишь один ученик сначала задал вопрос о

том, сколько решений может иметь задача, и, получив совет "Думай!", выдал

полное и правильное решение.

Со второй задачей у большей части учащихся дело обстояло практически

так же, т.е. большинство указало только один ответ (даже подсказка о том,

что решений может быть и больше, им не помогла), остальные – два ответа, но

без обоснований. И лишь один ученик (тот же, что решил и первую задачу)

решил самостоятельно и правильно эту задачу, выдав два ответа с

аргументацией.

Как видим, результаты экспериментов показывают, что школьники не в

состоянии самостоятельно справиться с задачами указанных типов. Они не

ставят перед собой вопросов о переизбыточности, недостаточности или

противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем

начать её решение, не возвращаются с полученным решением к началу задачи,

чтобы проверить его. Из чего можно заключить, что сформированность навыков

решения математических задач у учащихся средних школ (даже в

специализированных классах) является далеко не полной.

При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики

довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время

всё же делают довольно грубые ошибки в решении, объясняющиеся прежде всего

их неумением проводить такой анализ. При решении задач переопределённых, но

имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят

очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие хоть

сколько–нибудь завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо

того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. Т.е.

необходимость работы над задачей после получения ответа, необходимость

анализа этого ответа, выявление его соответствия тексту задачи формируются

у учащихся за более длительный срок и затратой больших усилий как самих

учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этот процесс намного

раньше, чем в десятом классе.

При решении задач неопределённых учащиеся не умеют перебирать

всевозможные случаи, которые возникают из–за этой неопределённости, и часто

либо находят одно решение, либо пишут, что задача не решается.

Итак, ответ на поставленный вопрос очевиден: сами учащиеся не готовы к

решению неопределённых и переопределённых задач, этому нужно их

целенаправленно учить. Как? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала

задумаемся о том, чему могут научить задачи с «аномальным» условием?

II. Обоснование целесообразности задач с «аномальным» условием

Для ответа на последний вопрос рассмотрим исследуемые типы задач более

подробно, чтобы определить, что конкретно требуется от ученика при решении

каждого из них.

1. Неопределённые задачи – задачи с неполным условием, в котором для

получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или

каких–то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.

Примеры:

1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти

длину третьей стороны.

2. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4

меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если

каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?

3. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов

дороги покрыто асфальтом?

С первого взгляда ясно, что задача 1 не может иметь решения, потому

что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним

неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив

неизвестную сторону через а.

Получим:

10 + 8 > a;

a + 10 > 8;

a + 8 > 10;

а из этой системы следует, что

2 < a < 18.

Таким образом, нам удалось уточнить ответ с фразы "задачу невозможно

решить" до вполне определённого интервала, что следует признать ответом

более высокого уровня.

И во второй задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там

невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе

условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например,

невозможны ответы 333 м и 250 м, хотя и по разным причинам. Первое

невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно,

т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько

же этих единиц там может быть?

Если в поезде х цистерн, то платформ х+4, а вагонов х+8. Вместе:

3х+12. Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный

ответ: 25(3х+12) м, где х – натуральное число. Над "дизайном" ответа можно

поработать, если переписать его так: 75(х+4). А теперь, переобозначив

Страницы: 1, 2, 3, 4