Математическая логика в младших классах

выделяют высказывания и высказывательные формы. Высказыванием называется

предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или

ложно.

Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а

предложение «3 + 3 = 32» ложное высказывание. Каждому высказыванию

приписывают одно из двух значений: И (истина) и Л (ложь). Значения И и Л

называют значениями истинности высказывания. Если высказывание

элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию. А

если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности

составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов:

«и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются

логическими связками.

Выясним смысл, который в математике имеет союз «и». Пусть А и В –

произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное

высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А и В).

Конъюнкицией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое

истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из

этих высказываний ложно.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания

«Число 102 четное и делится на 9». Высказывание имеет форму «А и В», где А

– число 102 четное – И, а В – число 102 делится на 9 – Л. Следовательно, и

все предложение ложно.

Выясним теперь, какой смысл в математике имеет союз «или». Пусть А и В –

произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное

высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А или В).

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое

истинно когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба

высказывания ложны.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания

«Число 15 четное или делится на 3», высказывание имеет форму «А или В»,

где А – Число 15 четное – Л, а В – число 15 делится на 3 – И.

Следовательно, и все предложение истинное.

Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в

предложении, иначе может получиться например такое недоразумение: Как-то

раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная.

Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе.

Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на

прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов

«на поводке» был оторван).

Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере

хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав.

Если бы союз «или» была бы пава Катя.

Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо

отрицается. Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное

высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое».

Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают ?

читают: «Не А» или «Неверно, что А».

Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание ?, которое

истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

Также составные высказывания можно получить при помощи слов «если…,

то…». Например: «Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик

получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен».

Высказывания имеет форму «Если А, то В» и называется импликацией

высказываний А и В (от латинского слова implicatiomecho связывают).

Импликацию высказываний А и В записывают так: А ( В и читают «Если А, то

В». Высказывание А называют условие импликации, а высказывание В - ее

заключением.

Считают, что импликация А ( В истинна во всех случаях, кроме случая,

когда А истинно, а В ложно.

Но существует еще и импликация обратная данной. Переставив местами

импликацию двух высказываний А ( В получим В ( А. Ее называют импликацией,

обратной импликации А ( В. Например, если дана импликация «Если вам больше

14 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова:

«Если вы имеете паспорт, то вам больше 14».

Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций А ( В и В ( А, то

есть высказывание вида (А ( В) ? (В ( А). Это высказывание истинно только

тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания

данного вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают:

А ( В. Запись читают: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда,

когда В; в) А, если и только, если В.

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует

предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.

Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ?,

потому что ложно высказывание «2 = 3».

Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой

таблицей истинности.

|А |В |А ? В |А ? В |? |А ( В |В ( А |(А(В) ? (В(А) |

|И |И |И |И |? |И |И |И |

|И |? |? |И | |? |И |? |

|? |И |? |И |И |И |? |? |

|? |? |? |? | |И |И |И |

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или

несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не

являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос,

истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти

предложения в высказывания (истинные или ложные).

Предложения такого вида называния высказывательными формами или

предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и

той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется

одноместной, а две двух местной.

И так, высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими

переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него

конкретных значений переменных.

Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают

высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений

переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например,

множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве

действительных чисел, буде промежуток (5;?).

Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда

согласно определению, всегда Т ( Х.

Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные.

Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат

А(х) ( В(х), х ( Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается

в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых

предикат А(х) ( В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует

из предиката А(х).

Вообще если на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х) и известно,

что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то предикат В(х)

называют необходимым условием для предиката А(х), а А(х) – достаточным

условием для предиката В(х). Очень часто слова «необходимое условие»

заменяют словами «только тогда», «только в том случае».

Мы выяснили, что при подстановки значений переменных в предикат,

получаем истинное или ложное высказывание. Но это превращение можно

осуществить и другим образом.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово

«всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно

этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит

предложение «всякое число х кратно 5» (х ( N) – высказывание, причем

ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по

переменной х и обозначается символом (х.

Высказывание «существует х такое, что …» в логике называется квантором

существования по переменной х и обозначается символом (х.

Наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо

слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя

бы один».

Используя слово «некоторый» в обычной речи имеют в виду «по меньшой мере

один, но не все», в математике же слово «некоторые» обозначает «по меньшей

мере один, но может быть, и все». И так, если задана одноместная

высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание,

достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней

переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных,

то перевести ее в высказывание можно, если связать кванторм общности или

существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма

содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если

связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная

форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе

переменные. Например, ((х)((у) х > у или ((х)((у) х > у.

Одна важно уметь не только переходить от высказывательной формы к

высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания,

содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру.

Часто в высказываниях квантор опускается; например, переместительный

закон сложения чисел записывают в виде равенства а + в = в + а, которое

означает, что для любых чисел а и в справедливо равенство а + в = в + а, то

есть переместительный закон сложения есть высказывание с квантором

общности.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем

доказательства. Что бы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно

привести контр пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при

помощи конкретного примера. Чтобы убедится в ложности такого высказывания,

необходимо привести доказательство.

Понятия: высказывания, предиката и операции над ними позволяют выяснить

логическую структуру многих утверждений. Этому способствует и использование

при их записи символов, применяемых в логике.

При изучение математики часто приходится рассматривать предложения,

называемые теоремами. Каким бы ни было содержание теоремы, она всегда

представляет собой высказывание, истинность которого устанавливается при

помощи доказательства.

Итак, теорема - это высказывание о том, что из свойства А следует

свойство В. Истинность этого высказывания устанавливается путем

доказательства.

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида

А ( В, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими

переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее

заключением.

Теоремы из А ( В и В ( А называются обратными друг другу, а теоремы

А ( В и ? ( В называются противоположными друг другу.

Теорему В ( ? называют обратной противоположной. Установлено, что

теорема А ( В и B ( А равносильны, то есть всегда когда истинна теорема

А ( В, будет истинна и теорема В ( А, и наоборот А ( В равносильно B (

А. Полученную равносильность называют законом контр позиции.

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами

и формулами.

Для того, чтобы теоремой было удобнее пользоваться на практике, ее

формулируют в виде правила и записывают только формулу, опуская все

условия, указанные в теореме. Такие упрощения позволяют быстрее запоминать

правила и формулы.

§ 3. Анализ учебника по математике 2-го класса М. И. Моро.

Изучение числовых выражений во втором классе начинается со страницы 9.

Здесь дети знакомятся с понятием числовые выражения. И для закрепления этой

темы в учебнике предложены следующие упражнения:

1. Прочитай выражения и найди их значения 90 – 4; 38 + 20.

Данное упражнение развивает вычислительные навыки у детей, умение правильно

читать выражения.

2. Запиши выражения и найди их значения:

а) Сумма чисел 2 и 9; 5 и 6.

б) Разность чисел 16 и 7; 14 и 6.

Задание формирует умение записывать числовые выражения и развивает

вычислительные навыки.

3. Сравни выражения 45 – 10 * 45 – 8; 18 + 40 * 18 + 30.

При выполнение данного упражнения у детей развивается логическое мышление.

4. Сумма каких однозначных чисел равна 15, 16, 17?

Данное упражнение развивает логическое мышление, вычислительные навыки,

активизирует мыслительную деятельность.

5. Слагаемые 18 и 80. Найди сумму.

При решении данного задания закрепляются знания таких компонентов как

слагаемые и сумма, умение пользоваться ими.

6. Представь число 8 в виде суммы одинаковых слагаемых.

Развивает логическое мышление учащихся.

7. Составь задачи по выражениям: 2 · 4; 12 : 3.

Развивает логическое мышление.

В учебнике много заданий данных типов, они отрабатывают вычислительные

навыки учащихся, помогают осознать понятие «числовые выражения», но они не

содержат элементов занимательности. А так же, очень мало упражнений

направленных на развитие логического мышления. Поэтому необходимо

использовать дополнительные задания развивающего характера. Это могут быть

следующие задания:

1. Найдется ли среди трех чисел такое, которое является разностью двух

других:

а) 4; 8; 4. б) 2; 4; 4. в) 2; 7; 5. г) 3; 3;

3.

2. Какие из выражений имеют одинаковые значения: 480 + 20; 75 + 25; 294 +

0; 480 – 20; 300 – 200; 294 + 0; 75 – 25; 300 + 200.

В данном задании формируется одновременно два понятия: нахождение значения

выражения и сравнение полученных значений выражений.

3. Реши примеры по следующим программам:

а) 345 -> -> ->

в) 894 -> -> ->

4. Вставь подходящий знак действия «+» или «-», чтобы ответ был верным:

2 + 6 * 2 = 10; 20 – 9 * 7 = 18; 9 + 10 * 3 = 16; 10 – 3 * 4 = 12;

5. Распредели числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 на две группы так, чтобы сумма двух

любых чисел в одной группе не был а равна никакому числу второй.

6. Составь выражения:

а) На представление в цирк пошли 12 мальчиков и 15 девочек 2 «А» класса.

Сколько всего детей этого класса пошли в цирк?

б) На арену выбежали 5 пуделей, а болонок – на 3 больше. Сколько болонок

на арене?

Все эти задания не только формируют вычислительные навыки, но и

развивают логическое мышление и все это осуществляется с элементами

занимательности, игры. Задания довольно разнообразны и отличаются друг от

друга.

Далее, на странице 58, вводятся понятия «равенство и неравенство». А для

закрепления данное темы Моро предлагает следующие задания:

1. Составь два верных равенства и два верных неравенства, используя

выражения: 23 + 12; 40 – 16; 12 + 23; 40 – 5.

Выполняя данное упражнение дети хорошо видят отличие равенства от

неравенства. В данном упражнении отрабатываются понятия равенство,

неравенство, развивается логическое мышление.

2. Проверь верны ли следующие записи: 9 · 3 = 27; 16 – 8 =16; 6 + 9 = 9 +

6; 2 · 7 > 2 · 6; 2 · 9 < 9 · 2; 37 + 6 > 37.

Данное упражнение направленно на отработку вычислительных навыков.

3. Вставь вместо звездочек знаки плюс или минус, чтобы получились верные

равенства: 76 * 4 * 7 = 73; 38 * 5 * 6 = 39.

Направленно на развитие вычислительных навыков, развитие логического

мышления.

4. Подбери такие числа, чтобы получились верные равенства или верные

неравенства: 9 · 6 = 6 · ; 8 · 2 > ; 6 : 3 < ; 56 – 8 < .

5. Поставь, где нужно, скобки так, что бы получились верные равенства:

76 – 20 + 5 = 51; 53 – 18 – 15 = 20.

Данное упражнение одновременно отрабатывает знания порядка действий.

6. Запиши неравенство:

а) Произведение чисел 6 и 2 больше их частного.

б) Сумма чисел 36 и 9 меньше разности этих чисел.

Данная в учебнике система упражнений довольно таки разнообразна,

интересна присутствуют упражнения направленные на развитие логического

мышления, на отработку вычислительных навыков, что очень важно в младших

классах. Но не достаточно занимательности, игровой формы. И для повышения

интереса у детей к математике можно использовать следующие задания:

1. Вставь вместо рожиц одну и ту же цифру так, чтобы равенство стало

верным:

1 ( + 3 ( + 5 ( = 111; ( 0 + ( 1 + ( 2 = 273.

2. Переставляя цифры, сделай равенство верным: 7 3 – 2 5 = 5 8.

3. В окошко по очереди показываются числа 3, 7, 6, 4. В каких случаях

получается верное равенство и в каких не верное?

4. Зайцы играют в футбол. Хитрый вратарь решил пропустить в ворота мяч,

который сделает равенство верным: 4 + = 11. Какой заяц забьет гол?

Удастся ли забить гол игроку под номером 9?

5. Из чисел 56, 6, 18 составьте все возможные разности. Какие из этих

разностей не имеют смысла?

6. Назовите все цифры, при подстановке которых вместо звездочки получается

верное неравенство: 3 * 2 > 355; * 68 < 443; 875 > 87 *; 406 < 4 * 7; *68

< 268.

При выполнение данного упражнения закрепляются правила сравнения чисел.

7. Неравенство имеет вид 10 – х < 5. Какие значения может принимать х?

Укажите все значения х, при которых получится:

а) Верное неравенство;

б) Не верное неравенство.

Здесь представлены задания повышенной трудности, но при выполнении

которых происходит более глубокое усвоение темы, также ведется подготовка

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7