Задача обработки решеток

предыдущем параграфе, но с некоторыми усложнениями. Главное из них — это

необходимость введения двух систем координат вращения: одной, связанной с

зеркалами резонатора (ось вращения у}, и второй, связанной с

диэлектрическим телом (ось вращения z) (рис. 9.7). Поле, рассеянное диском,

не обладает теперь осевой симметрией по отношению к зеркалам, что

существенно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал, необходимое

при применении метода Галеркина.

Рассмотрим теперь этапы решения задачи. Как и ранее, в методе

Галеркина в качестве базиса используются собственные функции пустого

резонатора, а точнее, их приближенное представление в виде гауссова пучка.

Пусть центр диска по-прежнему совпадает с центром резонатора, а ось

его симметрии повернута на 90° по отношению к оси резонатора (см. рис.

9.6). Решение начинается с нахождения азимутальных гармоник падающего по

отношению к диску поля и соответствующих ему первичных токов.

Падающее поле вблизи диска выражается функциями (9.54) и (9.56),

которые с учетом изменившейся системы координат запишем так:

[pic] (9.59)

[pic] (9.60)

Положим, что основная поляризация поля в резонаторе [pic]. Эквивалентные

токи в координатах вращения, связанных с диском, тогда имеют вид:

[pic](9.61)

Здесь, как и в (9.58), использованы обозначения § 3.3. Переход от

декартовых к координатам вращения дает

[pic] (9.62)

Коэффициенты А, В и D зависят от формы поверхности, на которой

находится точка наблюдения. На плоском торце [pic] ([pic] - радиус диска,

[pic]- его толщина); на цилиндрической поверхности [pic].

Воспользуемся малостью диэлектрического тела по сравнению с размерами

резонатора, т. е. учтем, что [pic] или [pic] и [pic]. Это позволяет

представить экспоненты двумя членами ряда Тейлора

[pic]. (9.63)

После этого токи записываются в виде

[pic](9.64)

Для следующего типа колебаний «10 q» выражения для первичных токов имеют

тот же вид, но A1=3A, D1=3D, B1=B. Далее поля разлагаются в ряд Фурье.

Поскольку тело невелико, можно ограничиться небольшим числом гармоник.

Используя формулы для коэффициентов ряда Фурье и интегральное представление

функции Бесселя (9.21), получаем выражения для гармоник падающих токов. При

этом в силу симметрии в случае синфазных токов на зеркалах присутствуют

только нечетные гармоники, что соответствует максимуму поля резонатора в

области диска:

[pic]

[pic](9.65)

Здесь

[pic] .

Переход к отрицательным индексам происходит так же, как и ранее.

После вычисления первичных токов используется алгоритм решения задачи

возбуждения тела вращения, основанный на уравнении (3.85). Результат

получается в виде распределения азимутальных гармоник плотностей

эквивалентных токов на поверхности диэлектрика.

Далее по этому распределению нетрудно рассчитать рассеянное поле

всюду и в том числе на поверхности зеркала. Как и в § 9.4, это поле и

определяет элементы матрицы однородной СЛАУ (9.48). Расчет ведется в тех же

приближениях с учетом изменившейся системы координат. В частности,

асимптотическая формула для функции [pic] в этих координатах имеет вид

[pic]. (9.66)

Существенные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49),

определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48).

Интеграл здесь поверхностный, т. е. двойной, и численное

интегрирование требует больших затрат времени ЭВМ. Выходом из положения

является аналитическое вычисление одного из интегралов. Для этого можно

воспользоваться тем, что в направлении, перпендикулярном оси [pic](см. рис.

9.7), каждая из азимутальных гармоник рассеянного поля имеет синусоидальную

зависимость. Формально удобно вести это интегрирование по декартовой

координате [pic] в пределах от [pic] до [pic]. Зависимость поля будет

синусоидальной только на окружности с центром, совпадающим с диском1.

Отличие этой окружности от меридиональной линии зеркала учтем только в

фазе. Поправочный множитель, как показывает геометрический расчет, имеет

вид [pic].

Зависимость поля каждой гармоники от [pic] на зеркале может быть

представлена только в числах, поэтому интеграл по [pic] в пределах -

[pic] берется численно. Таким путем приходим к интегралу

[pic] (9.67)

где [pic] — гиперсфероидальные функции, которые берутся в приближении

гауссова пучка, т. е. в виде (9.55) и (9.57).

Формула (9.67) учитывает векторный характер поля. Все расчеты ведутся

в предположении, что основная поляризация в резонаторе [pic] и,

следовательно, [pic]. В рассеянном поле при использовании метода Галеркина

надо брать ту же поляризацию. Она в координатах вращения, связанных с

диском, представляет собой [pic]. Интеграл по [pic], как уже говорилось,

можно взять аналитически. Не останавливаясь на подробностях, их можно найти

в [72], заметим, что этот интеграл можно свести к неполной гамма-функции.

Для вычисления последней имеются быстро сходящиеся ряды. Нахождение

одномерного интеграла по [pic] численным методом труда не представляет.

Рассмотрим некоторые результаты расчетов. Качественно они такие же,

как и в случае шара (§ 9.3). С ростом действительной части диэлектрической

проницаемости [pic] диска растет смещение частоты (рис. 9.8,а). Мнимая

часть [pic], т. е. [pic], на эту величину влияет слабо. Изменение обратной

величины к добротности [pic] также увеличивается с ростом [pic] за счет

рассеяния на диске. Мнимая часть проницаемости заметно влияет 'на изменение

добротности только при [pic], когда омические потери в образце соизмеримы с

потерями резонатора за счет рассеяния на диске (рис. 9.8,6).

1 Окружность показана на рис. 9.7 тонкой линией

[pic]

|a) |б) |

Рис. 9.8. Сдвиг резонансной частоты и изменение добротности открытого

резонатора с диском как функция [pic] диска

[pic]

Рис. 9.9 Изменение добротности открытого резонатора с диском как

функция [pic] диска

[pic]

Рис. 9.10. Сравнение параметров резонатора с диэлектрическим шаром и

диском

К тому же выводу приходим, рассматривая параметр [pic] как функцию

[pic] для различных значений [pic]. Видно, что с увеличением [pic] кривая

становится все более пологой и извлечение информация об [pic]

диэлектрического образца становится все более проблематичным (рис. 9.9).

Если считать, что 10%-ная доля омических потерь еще различима на фоне

потерь на рассеяние, то в области [pic] можно измерить [pic] порядка [pic],

а при [pic] только величины [pic].

Таким образом, методом открытого резонатора можно измерять потери только

очень плохих диэлектриков. Расчет связи параметров диэлектрика и

характеристик резонатора для шара все же проще, чем для диска. Поэтому

встает вопрос, нельзя ли установить соответствие между образцами в форме

шара и диска. В качестве параметра соответствия естественно взять объем

диэлектрического образца. С этой целью были рассчитаны смещения собственной

частоты и изменение обратной величины добротности для шара и диска с

одинаковым объемом. Оказалось (рис. 9.10), что эти зависимости, качественно

одинаковые, количественно различаются заметно. Поэтому для получения

приемлемой точности измерений необходимо тарировочные кривые строить на

основе адекватной математической модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ПЕРСПЕКТИВЫ

Метод интегральных уравнений в электродинамике появился сравнительно

недавно и быстро завоевал популярность. Этому способствовал целый ряд его

преимуществ: простота метода и, следовательно, его доступность; единство

подходов к решению весьма широкого круга задач; удобство реализации в виде

вычислительных программ алгоритмов, на нем основанных, и, наконец, высокая

степень универсальности.

Остановимся на указанных чертах метода несколько подробнее. Единство

подходов к большому кругу задач означает, как видно из гл. 2 и 3, что

интегральные уравнения, эквивалентные различным граничным задачам

электродинамики, составляются по одному и тому же стереотипу. При этом для

задач на телах вращения нет необходимости проходить стадию уравнений для

произвольных тел. Истокообразные представления (3.8) и (3.9) вместе с

формулами для элементов тензорной функции Грина позволяют" легко и быстро,

примерно так же как из крупных блоков строят дома, составлять необходимые

уравнения.

Те же «крупные блоки» в виде подпрограмм для [pic]-функции для

элементов тензора Грина и решения систем линейных алгебраических уравнений

позволяют достаточно быстро и просто компоновать программы для всех

сформулированных в книге задач и для многих других. Те же подпрограммы дают

возможность после численного решения уравнений найти поле в любой точке

пространства.

3 МЕТОД СВЧ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИМЕРОВ

Для контроля технологических параметров полимеров (качества смещения,

определение включений, вязкости) находят применение радиоволновые метода

СВЧ. Рассмотрим метод, который характеризуется определением объёмной

эффективной площади рассеяния ( ЭПР ).

ЭПР это площадь поперечного сечения некоторого фиктивного тела,

которое рассеивает электромагнитную в одну, ЭПР существенно зависит от

формы м ориентации тела, от его материала ЭПР, разрешаемого объема [pic]

заполненного частицами ( элементарными отражателями), выражается

произведением [pic]. Так для реальных полимерных материалов требуется знать

распределение частиц во размерам [pic] размеры частиц в единице объёма

распределены по [pic] групп и в 1-й группе содержится частиц с

аффективной площадью рассеяния [pic], то удельная объёмная ЭПР

[pic] (1)

ЭПР одной сферической частицы, диаметр [pic] которой много меньше длины

волны, определяется формулой [pic]

[pic] (2)

Коэффициент [pic], выраженный через комплексный показатель преломления

[pic] изменяется от [pic] для частиц наполнителя.

Практически для большинства объектов полимерных структур

с наполнителем удельную ЭПР можно выразить формулой

[pic] (3)

Множитель

[pic] (4)

можно назвать отражаемостью, которая зависит от концентрации и размера

частиц в разрезаемом элементе.

Изменение базы волны ври отражении можно определить из отпадения

напряженностей поля падающей ([pic]) и отраженной ([pic]) волн:

[pic], (5)

Модель этой комплексной величины [pic], имеющей размерность длины,

определяет интенсивность отражения. Аргумент указывает на изменение фазы

волны при отражении.

Если рассматривать прием и передачу на одну и туже антенну, т.е.

одинаковой ( согласованной) поляризацией, умножим выражение на комплексно

сопряженную величину

[pic] ,

В результате получаем

[pic]

Это означает, что если эффективная площадь [pic] - площадь квадрата,

то модель эффективной длины [pic] - это сторона того квадрата; [pic]- -

точное расстояние до источника, определяющего фазу колебаний [pic].

Для поляризованного колебания напряженность регулярного

электромагнитного поля выражается вектором [pic], который вращается с

угловой скоростью [pic] и конец которого описывает эллипс в плоскости

перпендикулярной направлению распространения. Если распространение

происходит в направлении оси [pic]прямоугольной системы координат [pic],

определяемой ортами [pic],то эллиптически поляризованная волна выражается

составляющими к полностью описывается четырьмя параметрами: амплитуда

[pic], и фазами [pic](. Однако не все эти параметры характеризуют

поляризацию. Одинаково поляризованными называются волны, у которых эллипсы

поляризации подобны и одинаково ориентированы. Абсолютное значение

амплитуд, влияющие лишь на размеры эллипсов поляризации, начальная фаза

[pic] , одинаковая для обеих составляющих, ив является поляризационными

характеристиками.

Следовательно состояние поляризации плоской волны можно полностью

определить двумя параметрами (рис.1 ).

[pic]

Рис.1 Эллиптически поляризованная плоская волна

В качестве таких параметров могут служить отношение амплитуд [pic] и

сдвиг фаз ( ортогональных составляющих; отношение амплитуд часто заменяют

углом [pic]. Поляризацию можно также задать величинами, непосредственно

характеризующими форму и ориентацию эллипса: отношение главных осей эллипса

[pic] углом [pic] и углом наклона главной оси [pic] (рис.1).

Система координат [pic], в которой представлено поляризованное

колебание, может быть задана парой единичных взаимно перпендикулярных

векторов [pic], [pic]. Такие ортогональные векторы - орты - называются

поляризованным базисом.

В поляризованном базисе ( [pic], [pic] ) вектор можно представить

выражением

[pic]

где [pic], [pic] и [pic], [pic] - модули и фазы комплексных амплитуд,

составляющих напряженности электрического поля [pic]соответственно. Если

[pic], то поляризация линейна, при [pic] она эллиптическая. При круговой

поляризации амплитуды составляющих одинаковы, а фазы сдвинуты на 90°.

Поляризационные преобразования при отражении можно представить

уравнениями

[pic]

связывающими ортогональные составляющие напряженности ноля падающей ([pic])

и отраженной ([pic]) волн, взятых в одном и том же поляризационном базисе

([pic]). Пару этих выражений можно записать в матричной форме.

[pic]

Таблицу комплексных величин

[pic]

называют матрицей рассеяния. В данной записи матрица рассеяния образована

поляризационными составляющими эффективной длины цели.

В дальнейшем будем рассматривать в качестве основной характеристики

цели матрицу эффективной длины

[pic]

Матрицу эффективной длины целесообразно представить в виде

[pic]

где [pic]

Таким образом, чтобы получить матрицу эффективной длины цели для

однокомпозиционной схемы измерения ( т.е. антенна является приемной к

передающей достаточно найти значения модулей матрицы [pic] и размерностей

их аргументов [pic].Для этог0 осуществляют излечение и прием сигналов для

двух составляющих выбранного поляризационного базиса раздельно.

При излучении электромагнитных воли вертикальной поляризации и при

приеме вертикально и горизонтально поляризованных составляющих отраженного

сигнала, можно измерить модули [pic] и разность фаз [pic]. При излучении

величин с горизонтальной линейной поляризацией находят соответственно [pic]

и [pic]. Основная трудность появляется при прямом измерении разности фаз

[pic]. Для этого требуется излучать раздельно по времени либо по частоте

два зондирующих колебания: с горизонтальной и вертикальной поляризацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фок В. А. Дифракция на выпуклом теле. - ЖЭТФ, 1945, т. 15, № 12, с. 693

- 698

2. Васильев Е. Н. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения.

- Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1959, т. 2, № 4, с. 588 - 601.

3. Андерсеан А. Д. Рассеяние на цилиндрах с произвольным поверхностным

импедансом. - ТИИЭР, 1965, т. 53, № 8, с. 1007-1013.

4. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. - М.: Мир, 1964. - 428

с.

5. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. - М.:

Радио и связь, 1983 - 296 с.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,

1984. - 271 с.

7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.:

Наука, 1972. - 735 с.

8. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. - М.: Мир,

1977. - 485 с.

9. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Метод сингулярных

интегральных уравнений в двухмерных задачах дифракции. - Киев: Наукова

думка, 1984. - 343 с.

10. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука,

1970, - 420 с.

11. Хижняк Н. А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред. -

ЖТФ, 1958, т. 28,№ 7, с. 1592 - 1604.

12. Кравцов В. В. Интегральные уравнения в задачах дифракции. - В кн.:

Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во МГУ, 1966, вып.

У, с. 260 - 293.

13. Васильев Е. Н., Гореликов А. И., Фалунин А. А. Тензорная функция Грина

координатах вращения. - В кн.: Сб. научно-методических статей по

прикладной электродинамике. - М.: Высшая школа, 1980, вып. 3, с. 3 - 24.

14. Белостоцкий В. В., Васильев Е. Н. Интегральное уравнение сферического

открытого резонатора с диэлектрическим шаром. - В кн.: Вычислительные

методы и программирование. - М.: Высшая школа, 1978, вып. 2, с. 101 - 111

15. Васильев Е. Н., Серегина А. Р., Седельникова З. В. Дифракция плоской

волны на теле вращения, частично покрытом слоем диэлектрика. - Изв. Вузов

СССР. Сер. Радиофизика, 1981, т. 24, № 6, с. 753 - 758

16. Хемминг Р. В. Численные методы. - М.: Наука, 1972. - 400 с.

17. Васильев Е. Н., Малов В. В., Солохудов В. В. Дифракция поверхностной

волны на открытом конце круглого полубесконечного диэлектрического

волновода. - Радиотехника и электроника, 1985, т. 30, № 5, с. 925 - 933.

18. Фокс А., Ли Т. Резонансные типы колебаний в интерферометре квантового

генератора. - В кн.: Лазеры. - М.: ИЛ, 1963. - 155 с.

19. Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Строгая постановка задачи о свободных

и вынужденных колебаниях открытого резонатора. - Радиотехника и

электроника, 1967, т. 12, 11, с. 1184- 1193.

20. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. - М.: Сов.

радио, 1966. - 475 с.

21. Slерiаn В. Ргоbаtе spheroidal wave function, fourier analisis and

uncertainly - 1У. Extension to many dimension, generalised prolate

spheroidal functions. - Bell System Techn. J., 1964, v. 143, . 11, р.

1042- 1055.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Теорема продолжимости для функций спектральной плотности

Это приложение относится к теореме продолжимости для функций

спектральной плотности, обсуждавшихся в разделе Ш-Е. Подразумевается, что

каждая окрестность каждой точки в К имеет строго положительную [pic]-меру.

Это условие гарантирует, что корреляционные векторы, соответствующие

импульсам в К, могут быть аппроксимированы посредством корреляционных

векторов, соответствующим непрерывным, строго положительным функциям

спектральной плотности.

Теорема продолжимости для спектральных функций плотности : Если

каждая окрестность каждой точки в К имеет строго положительную меру [pic],

то

1/если [pic] равномерно ограничено от нуля по К, то

[pic],

2/если [pic], то

[pic]

для некоторых непрерывных, строго положительных функций [pic].

Доказательство : Первое утверждение может быть доказано посредством

рассмотрения отображения ограниченной функции [pic] на вектор [pic],

определяемый путем

[pic] (А1)

То, что [pic] имеет равномерное ограничение от ноля означает, что для

некоторого [pic]для всех [pic]. Поскольку Функции [pic] являются линейно-

незазисимыми функциями на К и, так как каждая окрестность каждой точки в К

содержит множество со строго положительной мерой, то отсюда следует, что

отражением множества ограниченных [pic]-полиномов

[pic] (А2)

при /A1/, является окрестность О. Поэтому отражением

[pic] (А3)

является подмножество Е, которое находится в окрестности [pic].

Следовательно, [pic].

Второе утверждение может быть доказано посредством рассмотрения

множества [pic] корреляционных векторов, соответствующих функциям

спектральной плотности, которые являются интегрируемыми, непрерывными и

строго положительными /следовательно, с ограничением от нуля/,

[pic]

[pic] является выпуклым и, из доводов, приведенных выше, следует, что

[pic]- открыто. Легко показать., что векторы [pic] для [pic] находятся в

замыкании [pic]. Из теоремы Каратеодори [16] следует, что каждый [pic]

может быть записан в виде положительной суммы 2М + I таких [pic]. Поскольку

каждый [pic] находится в замыкании [pic], то отсюда следует, что каждый

[pic] находится там же. Поэтому замыканием [pic] является Е. Два открытых

выпуклых множества с одинаковым замыканием должны быть идентичными.

Поскольку Е находится в замыкании как [pic], так и [pic], то отсюда

следует, что [pic]

Приложение В

Теорема представления

Теорема представления раздела IУ-А является простым распространением

теоремы Каратеодори [16] для корреляционных векторов на границе Е с

использованием теоремы о продолжимости. Это обобщение "теоремы С"

Каратеодори [9, гл. 4] для многократных измерений. Ввиду вывода метода

Писаренко в разделе 1У, как линейной программы, теорема представления может

также рассматриваться, как вид фундаментальной теоремы линейного

программирования. [l8].

Теорема представления: Если [pic] находится на границе Е, то для

некоторых 2М неотрицательных [pic] и некоторых [pic]:

[pic] (В1)

Доказательство: Рассмотрим компактное выпуклое множество [pic],

которое является выпуклой оболочкой [pic]. По теореме Каратеодори,. любой

элемент в Е может быть выражен в виде выпуклой комбинации 2М+1 элементов А

[pic] (B2)

при [pic] и [pic]. Если одно из [pic] равно нулю, доказательство

завершено. Иначе, поскольку [pic] находится на границе [pic], имеется

некоторый ненулевой [pic], такой что

[pic] (В3)

Итак, для каждого [pic], [pic] должны быть линейно зависимыми,

следовательно имеются некоторые [pic], не все нули, так что [pic]. Пусть

[pic] является числом с наименьшим значением, так что [pic] для некоторого

[pic].

Тогда

[pic](B4)

Один из этих коэффициентов равен нулю, что делает равным это

выражение сумме только 2М членов. Признание того, что любой элемент Е

является масштабированной версией элемента [pic], завершает доказательство.

Отметим, что для случая временной последовательности, [pic] может

быть выражен в виде суммы не более, чем М комплексных экспоненциалов, в то

время, как вышеприведенная теорема гарантирует только представление в

терминах 2М экспоненциалов, Это не недостаток доказательства, а подлинная

особенность проблемы, как показывает следующий одномерный пример.

Пример BI : [pic]. Предположим, что [pic] находится на прямой части

границы и, как показа-

но на рис.7. Ясно, что [pic] имеет единственное представление в виде

выпуклой суммы членов А в терминах двух корреляционных векторов,

соответствующих [pic] и [pic],

[pic]

Приложение С

Единственность оценки Писаренко

Как обсуждалось в разделе IУ-А, опенка Писаренко является

единственной, если один и только один спектр может быть связан с каждым

корреляционным вектором на границе Е. Тривиальные проблемы единственности

появляются в результате, если два отдельных [pic] в [pic] приводят к одному

и тому же [pic]. В -более общем смысле рассмотрим множество корреляционных

векторов, соответствующих нулевому множеству некоторого ненулевого

положительного полинома [pic]

[pic] (С1)

Любой вектор [pic], который превращает в ноль внутреннее произведение

с р ,может быть выражен в виде суммы положительных составляющих векторов из

множества [pic]. Отсюда следует, что если это множество является линейно

независимыми, то представление единственно. И наоборот, если это множество

линейно зависимо, то можно построить [pic] на границе Е, который имеет

более одного спектрального представления. Если множество линейно зависимо,

то имеется конечная совокупность ненулевых вещественных чисел [pic] и

[pic], таких что

[pic] (С2)

Поскольку [pic] для всех [pic], то должно быть, по крайней мере, одно

[pic] - строго положительное и одно - строго отрицательное. Итак,

[pic] (С3)

является ненулевым вектором корреляции на границе Е с, по крайней мере,

двумя спектральными представлениями.

Поэтому оценка Писаренко является единственной тогда и только тогда,

когда множество корреляционных векторов, соответствующих нулю каждого

ненулевого положительного полинома, линейно независимо. В частности, чтобы

оценка Писаренко была единственной, никакой ненулевой положительный полином

не может иметь более 2М нулей, это условие подобно, хотя и не так строго,

условию Хаара [23], которое включает все полиномы, а не только

положительные.

Факторизация полиномов в случае временной последовательности дает

сильный результат. В случае временной последовательности ненулевой

положительный полином может иметь не более М нулей. Кроме того, ненулевой

положительный полином может быть построен так, что он равен нулю в М или

менее произвольных точках и больше нигде. Это означает /Пример 4.I/ , что

корреляционный вектор в [pic] имеет единственное спектральное представление

и что этот спектр состоит из и или менее импульсов. Кроме того, это

означает, что любой спектр, состоящий из М или менее импульсов, имеет

корреляционный вектор в [pic].

Однако, простой пример показывает,, что нет гарантии того, что оценка

Писаренко будет единственной в большинстве многомерных ситуаций. Рассмотрим

ненулевой положительный полином

[pic] (С4)

для некоторого ненулевого [pic]. Нулевое множество [pic] включает часть

гиперплоскости

[pic] (С5)

которая находится в К. Многие спектральные основы, имеющие практический

интерес, пересекают эту гиперплоскость в бесконечном числе точек,

подразумевая существование некоторого корреляционного вектора на границе Е

с неединственным спектральным представлением. Эта проблема неединственности

аналогична неединственности в многомерной чебышевской аппроксимации [24].

ИЛЛЮСТРАЦИИ

[pic]

Рис.1 ПИП из трех ИП

[pic]

Рис.2 Спектральная основа для решетки ПИП : I - основа

[pic]

Рис.3 Е и Р для [pic] и [pic]. /а/ Сечение Е и Р при [pic] и /b/

Сечение Е и Р при [pic].

[pic]

Рис. 4 Е и Р для [pic] и [pic]. /а/ Сечение Е и Р при [pic] и /b/

Сечение Е и Р при [pic].

[pic]

Рис.5 Аппроксимация спектральной основы посредством выборки ; сечение

при [pic]

[pic]

Рис.6 Разложение вектора [pic] на вектор [pic] на границе Е плюс

кратное данного вектора [pic].

[pic]

Рис.7 Е для [pic] и [pic]. /а/ Сечение по Е при [pic] и /b/ Сечение

по Е при [pic].

-----------------------

l/2

y

a

z

t

R0

Страницы: 1, 2, 3, 4