Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

соответствующим частотному интервалу между импульсными функциями. В общем

случае отсчеты в одной области (например, временной) приводят к

периодическому продолжению в области преобразования (например, частотной).

Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой, так что [pic], то

периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними (эффект

наложения в частотной области). Частота отсчетов [pic]получила название

частоты отсчетов Найквиста.

Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам,

то есть осуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этими

отсчетами, можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр

нижних частот, обладающий прямоугольной частотной характеристикой

(взвешивание в частотной области ), используя теоремы о свертке во

временной и частотной областях, получим :

[pic]

Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремы

отсчетов во временной области, которая утверждает, что с помощью этой

интерполяционной формулы действительный сигнал с ограниченным спектром

может быть точно восстановлен по бесконечному счетному числу известных

временных отсчетов, взятых с частотой [pic]. Аналогичный результат может

быть получен и для комплексных сигналов с ограниченным спектром.

Дуальной к теореме отсчетов во временной области является следующая

Теорема. Для ограниченного временем [pic] по длительности сигнала [pic]

верно, что

[pic]

где [pic]

Таким образом, преобразование Фурье [pic] некоторого сигнала с

ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено по

эквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервал

отсчетов по частоте удовлетворяет условию [pic]герц.

Пусть дан произвольный непрерывный сигнал [pic] и его преобразование

[pic], которые в общем случае могут быть неограниченными по спектру и по

длительности. Если положить, что N отсчетов [pic] во времени взяты с

равномерным интервалом T секунд, то ограничим спектр этого сигнала

частотами [pic] герц взвешиванием в частотной области: [pic], здесь [pic]-

функция окна в частотной области. При этом сигнал трансформируется

следующим образом [pic]. Далее берутся отсчеты во временной области

сформированного первой операцией и ограниченного по спектру сигнала [pic],

соответствующие изменения в спектре можно представить как [pic]. Теперь

ограничимся длительностью сигнала NT :[pic]. И снова свертка в частотной

области для спектра полученного на этапе 2 [pic]. Последнее что осталось

сделать - взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/NT герц, это приводит к

периодическому продолжению исходных N временных отсчетов. Сигнал на

последнем этапе принимает следующий вид : [pic], а его преобразование :

[pic].

Окончательно можно получить, что если исходный сигнал [pic] и [pic]-

его преобразование, то на четвертом шаге [pic] и [pic] связаны следующими

соотношениями :

[pic]

[pic], где [pic]

[pic]Последние соотношения называют дискретно-временными рядами Фурье.

Исходя из процесса построения дискретно-временных рядов Фурье, можно

установить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временной

последовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией или

между рядом Фурье преобразования и исходной функции преобразования. Если

ширина спектра [pic] ограничена частотой 1/T герц, то ряд Фурье временной

последовательности будет сохранять исходные значения [pic] в отсчетных

точках, однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоять

из отсчетов некоторого «размытого» варианта исходного преобразования [pic].

С другой стороны, если длительность [pic] фактически ограничена интервалом

NT секунд, то ряд Фурье последовательности преобразований сохраняет

исходные значения [pic] в отсчетных точках, однако ряд Фурье временной

последовательности будет состоять из некоторого «размытого» варианта

исходного сигнала [pic]. Эффекты размытия можно ослабить за счет уменьшения

T (так что 1/T будет соответствовать более широкой полосе) или увеличения

N (так что NT будет соответствовать большей длительности), в результате

чего дискретно-временной рад Фурье будет точнее аппроксимировать

непрерывное преобразование. Ряд будет идентичным непрерывному

преобразованию только в случае периодических сигналов, которые можно

представить в виде суммы из комплексных синусоид с частотами k/NT герц,

где k=0,1,...N-1.

1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов.

Определение: Дискретный случайный процесс [pic] эргодичен в среднем если

[pic]

Определение: Дискретный случайный процесс [pic] автокорреляционно эргодичен

если

[pic]

Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение

по времени определения для среднего значения и автокорреляции, но позволяет

дать подобное определение спектральной плотности мощности :

Определение:

[pic]

Эта эквивалентная форма спектральной плотности мощности получается

посредством статистического усреднения модуля дискретно-временного

преобразования Фурье взвешенной совокупности данных, для случая когда число

отсчетов данных увеличивается до бесконечности. Статистическое усреднение

необходимо здесь потому, что дискретно-временное преобразование само

является случайной величиной, изменяющейся для каждой используемой

реализации [pic]. Это определение эквивалентно определению спектральной

плотности мощности как дискретно-временное преобразование Фурье

автокорреляционной последовательности.

Если в последнем определении не учитывать операцию математического

ожидания, то получим оценку спектральной плотности мощности, которая

называется выборочным спектром :

[pic]

Хотя выборочный спектр не является состоятельной оценкой истинной

спектральной плотности мощности, эта оценка может быть использована если

выполнять некоторого рода усреднение или сглаживания. На использовании этой

оценки основан классический периодограммый метод определения спектральной

плотности мощности.

1.3. Классические методы спектрального анализа.

1.3.1 Введение

Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующем

усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения

которых по исходным данным сначала формируется корреляционные оценки,

получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.

При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится

принимать множество компромиссных решений, с тем, чтобы по конечному

количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые спектральные

оценки с максимально возможным разрешением. К этим компромиссным решениям

относятся, в частности, выбор таких функций окна для взвешивания данных и

корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и в

частотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижению

уровня боковых лепестков, выполнению эффективного усреднения по ансамблю и

к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты

(малые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое смещение

относительно истинных спектральных значений на всех частотах) достижимы

только тогда, когда произведение TB, где Т - полный интервал записи

данных, а B - эффективное разрешение по частоте, значительно превышает

единицу. Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае

гауссовских процессов, для которых подробно теоретически изучены

статистические характеристики классических спектральных оценок. Однако

выбор конкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовских

процессов зачастую обосновывается только экспериментальными данными. Да и

выбор функции окна очень часто основывается на данных экспериментальных, а

не теоретических исследований.

1.3.2. Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе.

Окна представляют собой весовые функции, используемые для уменьшения

размывания спектральных компонент, обусловленного конечностью интервалов

наблюдения. Так, можно считать, что воздействие окна на массив данных (как

мультипликативной весовой функции) состоит в уменьшении порядка разрыва на

границе периодического продолжения. Этого добиваются, согласуя на границе

возможно большее число производных взвешенных данных. Проще всего

обеспечить такое согласование, сделав эти производные равными или, по

крайней мере, близкими к нулю. Таким образом, вблизи границ интервала

взвешенные данные плавно стремятся к нулю, так, что периодическое

продолжение сигнала оказывается непрерывным вплоть до производных высших

порядков.

С другой стороны, можно считать, что окно мультипликативно

воздействует на базисное множество так, чтобы сигнал произвольной частоты

имел значительные проекции только на те базисные векторы, частоты которых

близки к частоте сигнала. Оба подхода ведут, конечно, к одинаковым

результатам.

1.3.3. Периодограммные оценки Спектральной Плотности Мощности.

Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания и полагая,

что конечное множество данных содержит N отсчетов, получаем выборочный

спектр

[pic]

который может быть вычислен по конечной последовательности данных.

Однако поскольку была опущена операция математического ожидания, эта оценка

будет неустойчивой или несостоятельной. И для сглаживания применяется что-

то вроде псевдоусреднения по ансамблю. Существует три различных типа

сглаживания быстрых флюктуаций спектра.

Первый метод заключается в усреднении по соседним спектральным

частотам. Если для вычисленный выборочный спектр на сетке частот [pic], то

модифицированная оценка периодограммы на частоте [pic]может быть получена

посредством усреднения в P точках с каждой стороны от этой частоты

[pic]

Обобщением этого подхода является обработка выборочного спектра с

помощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой [pic] . В этом

случае модифицированную периодограмму можно записать в виде свертки

частотной характеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра

[pic]

Вторым методом сглаживания выборочного спектра является усреднение по

псевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из N

отсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом,

так что DPq

[pic], m<0

В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем :

[pic], [pic]

[pic], m=0

[pic], m<0

В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом :

[pic][pic]

Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для [pic],

то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного

соотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера), где

автокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.

Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является

решение нормальных уравнений Юла-Уалкера, в которые вместо значений

неизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результаты

экспериментов с этим, первым методом АР-оценивания и сравнение с другими

методами этого класса приведены в соответствующем разделе.

1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.

Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-

параметры порядка p c параметрами порядка p-1 выражением :

[pic], где n=1,2,..p-1

Коэффициент отражения [pic]определяется по известным значениям

автокорреляционной функции :

[pic]

[pic], где [pic]

Из всех величин только [pic] непосредственно зависит от автокорреляционной

функции. В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки

коэффициента отражения, рассмотрим некоторые из них.

1. Геометрический алгоритм.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно

следующими выражениями:

[pic]

[pic]

Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей

порядков p и p-1, определяются простой подстановкой [pic] и [pic]в

рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:

[pic]

[pic]

Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством

(является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного

предсказания вперед и назад) :

[pic]

Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания

вперед и назад, получим :

[pic]

Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, в

котором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известной

автокорреляционной функции, используется его оценка [pic]

Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :

[pic], где n=1,2,..p-1

[pic]

[pic], [pic]

[pic]

[pic], где [pic]

1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.

Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента

отражения находится из других соображений, а именно : при каждом значений

параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок

линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки

предсказания):

[pic]

Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для [pic] :

[pic]

Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки

предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при

использовании базового метода Берга:

[pic]

что приводит к следующей оценке :

[pic]

4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.

Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они

удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Берга

происходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения [pic].

Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам

линейного предсказания.

Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p

используются последовательность данных [pic].Оценка линейного предсказания

вперед порядка p для отсчета [pic]будет иметь форму:

[pic]

где [pic] - коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.

Ошибка линейного предсказания :

[pic]

В матричном виде это выражение записывается как :

[pic]

и соотношение для ошибки :

[pic]

Однако если рассматривать, в котором минимизируется следующая,

невзвешенная выборочная дисперсия :

[pic]

то матрица [pic]принимает теплицевый вид (далее ее будем обозначать [pic]).

Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий

вид:

[pic]

Элементы эрмитовой матрицы [pic]имеют вид корреляционных форм

[pic], где [pic]

Таким образом, авторегрессионные параметры могут быть получены в результате

решения нормальных уравнений. Рассмотрим алгоритм, который в решении

нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова матрица [pic]

получена как произведение двух теплицевых и в результате этого сводит

количество вычислений к [pic] . При использовании алгоритма Холецкого

потребовалось бы [pic]операций.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка

[pic]

[pic]

Здесь вектор данных [pic], вектор коэффициентов линейного предсказания

вперед [pic] и вектор линейного предсказания назад [pic]определяется

следующими выражениями:

[pic], [pic], [pic]

На основе отсчетов измеренных комплексных данных [pic]ковариационный метод

линейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квадратов

ошибок линейного предсказания вперед и назад:

[pic], [pic]

что приводит к следующим нормальным уравнениям :

[pic], [pic]

[pic]

Введем необходимые для дальнейшего определения :

[pic], [pic]

исходя из вида [pic] и [pic] можно записать :

[pic], [pic],

где вектор столбцы [pic] и [pic]даются выражениями :

[pic], [pic]

Важными также являются следующие выражения :

[pic]

[pic]

Пара векторов-столбцов [pic]и [pic] определяются из выражений :

[pic]

[pic]

Аналогично определяются вектора [pic]и [pic], а также [pic]и [pic] через

матрицы [pic] и [pic].

Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного

предсказания вперед выглядит следующим образом :

[pic], где [pic], в котором

[pic]

Страницы: 1, 2, 3