Нерегулярные четырехполюсники или длинные линии

где [z] — матрица сопротивлений;

[у] — матрица проводимостей;

[a] — матрица передачи в прямом направлении (слева направо);

[ft] — матрица передачи в обратном направлении (справа налево).

Матрицы [h] и [g] называют гибридными матрицами 2х2-полюсника.

Таким образом, получено шесть форм уравнений и шесть систем

параметров 2х2-полюсника. Чтобы охарактеризовать 2х2-по-люсник и рассчитать

передачу энергии через него в любом из двух направлений (слева направо и

справа налево), достаточно было бы иметь одну из указанных систем. Тем не

менее наличие нескольких систем параметров оказывается полезным по

следующим причинам: 1) есть такие 2Х2-полюсники, для которых некоторые из

описанных систем параметров не существуют (система параметров считается

несуществующей, если хотя бы один из ее параметров равен бесконечности); 2)

в зависимости от структуры заданного 2х2-полюсника значения его параметров

отыскиваются проще для определенной системы параметров); 3) часто сложная

цепь, составленная путем соединения нескольких 2х2-полюсников,

рассчитывается проще, если на одном этапе расчета пользоваться одной

системой параметров, а на следующем — другой. Параметры каждой из шести

систем можно выразить через параметры остальных. В табл. 2.1 дана сводка

формул, выражающих указанные связи.

Таблица 2.1

Связи между матрицами

[pic]

В таблице (z, (y, (h, (g, (a, (b — определители соответствующих матриц. Эти

определители выражают через элементы матриц:

[pic] , (2.9)

[pic] , (2.10)

[pic] , (2.11)

[pic] , (2.12)

[pic] , (2.13)

[pic] , (2.14)

Заметим, что в каждой из описанных матриц элементы не связаны между

собой. Однако, если 2х2-полюсник обратимый (взаимный), между элементами

каждой матрицы существует по одной определенной связи

[pic] (2.15)

а если 2х2-полюсник симметричный, добавляют еще по одной

[pic] (2.16)

Таким образом, 2х2-полюсник в общем случае характеризуется четырьмя,

обратимый 2х2-полюсник — тремя, а симметричный 2Х2-полюсник — двумя

независимыми параметрами.

6 Соединения четырехполюсников

В ряде случаев сложный 2х2-полюсник можно представить в виде

соединения более простых структур.

Рассмотрим основные виды соединении 2х2-полюсников (рис. 2.6).

При последовательном этажном соединении имеет место зависимость

[pic] , (2.17)

т. е. матрица [z] последовательного соединения 2х2-полюсников равна сумме

матриц [z] составляющих 2Х2-полюсников. При параллельном соединении 2Х2-

полюсников имеем

[pic] , (2.18)

Схемы соединений четырехполюсников

[pic]

а — последовательное; б — параллельное;

в — последовательно-параллельное; г — параллельно-последовательное;

д — каскадное

Рис. 2.6.:

т. е. матрица [у] параллельного соединения 2х2-полюсников равна сумме

матриц [у] составляющих 2х2-полюсников. При последовательно-параллельном и

параллельно-последовательном соединении имеем

[pic] , (2.19)

[pic] , (2.20)

т. е в этих соединениях суммируются соответственно матрицы [h] и [g].

Каскадное соединение 2Х2-полюсников

[pic] , (2.21)

равно произведению матриц [а] составляющих 2х2-полюсников; при этом

матрицы должны записываться в порядке следования 2х2-полюсников в цепочке.

При выводе (2.17) … (2.21) предполагаем, что токи, входящие во все

четырехполюсники, участвующие в соединениях, удовлетворяют условию

попарного равенства и противонаправленности; такое соединение

четырехполюсников называют регулярным.

В действительности же указанное условие не всегда выполняется; тогда

соединение 2х2-полюсников становится соединением 4Х 1-полюсников, которые

подчиняются иным закономерностям. Поэтому, прежде чем применять теорию 2х2-

по-люсников к тому или иному их соединению, необходимо убедиться, что это

соединение является регулярным, т. е. токи в верхнем и нижнем полюсах

каждого составляющего четырехполюсника равны и противонаправленны.

К доказательству леммы о токах четырехполюсника

[pic]

Рис. 2.7

При этом достаточно, чтобы это выполнялось лишь для одного конца

каждого из составляющих четырехполюсников, так как справедлива следующая

лемма: если токи в верхнем и нижнем полюсах на одном конце четырехполюсника

равны и противонаправленны (рис. 2.7), то будут равны и противонаправленны

также токи на другом конце четырехполюсника, т. е. равенства I1=I01, I2=I02

вытекают одно из другого. Доказательство этой леммы следует из обобщенного

закона Кирхгофа: сумма токов, пронизывающих произвольную замкнутую кривую

или поверхность, охватывающую часть электрической цепи, равна нулю; при

этом входящие токи следует брать с одним знаком, а выходящие — с

противоположным. На практике часто можно не проверять попарное равенство

токов, если известно, что соответствующие соединения регулярны. К ним

относятся следующие соединения:

1) Соединения двух трехполюсных четырехполюсников (рис. 2.8, а, б, в)

(четырехполюсник называют трехполюсным, если его нижние зажимы соединены

накоротко, как показано на рис. 2.5). Все другие соединения двух

трехполюсных четырехполюсников, хотя формально и нерегулярные, также

могут быть приведены к виду регулярных.

Регулярные соединения четырехполюсников

[pic][pic]

Рис. 2.7

Трехполюсный четырехполюсник

[pic]

Рис. 2.8

2) Параллельное соединение n трехполюсных либо уравновешенных

(симметричных относительно продольной оси) четырехполюсников (рис. 2.4,г).

3) Любое соединение разрывного четырехполюсника с любым другим

(четырехполюсник называют разрывным, если между его входом и выходом нет ни

электрической, ни гальванической связи; примером может служить

двухобмоточный трансформатор без емкостной связи между обмотками).

4) Каскадное соединение любых четырехполюсников, если вся система в

целом представляет собой 2х2-полюсник.

Необходимо указать, что при скрещивании (перемене местами) зажимов на

входе либо на выходе 2х2-полюсника меняются знаки всех параметров, имеющих

смысл передаточной функции, а именно параметров z12 , z21 , y12 , y21 , h12

, h21 , g12 , g21 , a11 , a12 , a21 , a22 .

7 Однородная длинная линия

Линия передачи, в которой распространяется Т-волна, описывается

дифференциальными уравнениями

dU / dx = -Zп * I; dI / dx = -Yп * U,

(2.22)

где U, I — комплексные действующие значения напряжения и тока в

сечении линии, расположенном на расстоянии х от ее

начала, В, А;

[pic] — погонные комплексные сопротивления и проводимости,

Ом, Сим;

LП, CП, RП, GП — погонные индуктивность, емкость, сопротивление

и проводимость линии, Гн, Ф, Ом, Сим.

Решение уравнений (2.22) имеет вид

[pic] , (2.23)

где А и В — произвольные постоянные;

[pic] — волновое сопротивление, Ом;

у — постоянная передачи,

причем

[pic] . (2.24)

С учетом граничных условий из (2.23) имеем

[pic] , (2.25)

где U1 , I1 , U2 , I2 — напряжения и токи в начале и конце линии, В, А;

l — длина линии, м.

Таким образом, в режиме 2х2-полюсника матрица передачи отрезка линии

[pic] . (2.26)

Для линии без диссипативных потерь (RП=0, GП=0)

[pic]; [pic] ,

где [pic] —электрическая длина линии, м;

[pic] — длина волны в линии, м,

откуда

[pic] . (2.27)

Линии передачи без потерь, в которых распространяется только Т-волна,

обладают специфическим свойством - скорость распространения волны в линии

постоянна, а определяется она выражением

[pic] ,

где с — скорость света в вакууме, м/с;

[pic] — относительная диэлектрическая постоянная материала, которым

заполнена линия.

Таким образом,

[pic] ,

т. е. погонные параметры рассматриваемых линий между собой жестко связаны.

Например, при сближении проводов линии погонная емкость СП увеличивается, а

погонная индуктивность LП уменьшается так, что произведение LП*СП остается

неизменным:

[pic] ,

где L0 — собственная индуктивность одного провода на единицу длины (под

собственной индуктивностью провода понимают его индуктивность в

случае, когда обратный провод и другие внешние объекты отодвинуты

на достаточно большое расстояние), Гн;

М — взаимная индуктивность между обоими проводами на единицу их длины,

Гн/м;

k=M/L0 — коэффициент магнитной связи между проводами линии ([pic]).

Согласованность изменения СП и k, которая обеспечивается постоянством

скорости света, обусловливает сохранение Т-волны при вариациях расстояния

между проводами (если это расстояние не превосходит определенных пределов,

связанных с диапазоном частот).

8 Замыкание полюсов отрезка линии по диагонали

Два варианта замыкания полюсов линии по диагонали показаны на рис.

2.9, а, б; они соответствуют горизонтальному и вертикальному положениям

отрезка линии. Отрезок провода, осуществляющий замыкание, должен быть

предельно коротким; с этой целью на практике линии свертывают в кольцо

(рис. 2.10, а, б) или наматывают на тороид (рис. 2.10, в).

Схема замыкания по диагонали полюсов линии

[pic]

а) – горизонтальной; б) - вертикальной

Рис. 2.9

Варианты реализации схем

[pic] [pic]

а, б) – кольцевой; в) – тороидальной

Рис. 2.10

К замене НВЛ "полным четырехполюсником"

[pic]

а) – в схеме 2.9, а; б) – в схеме 2.9, б

Рис 2.11

Замыкание полюсов линии по диагонали реализует 2Х2-полюсное

устройство, содержащее НВЛ во внутренней цепи, что видно из рассмотрения

токов на рис. 2.9, а, б. Токи в полюсах входа и выхода устройства попарно

равны и противонаправленны, в то время как внутренняя часть

устройства—отрезок линии является НВЛ (все токи в полюсах линии различные).

Замещаем НВЛ полным четырехугольником, включенным так же, как ранее

включалась НВЛ (рис. 2.11, а, б). После топологических преобразований оба

устройства (рис. 2.11) можно привести к одному и тому же П-образному 2Х2-

полюснику (рис. 2.12); его а-матрица

[pic] , (2.28)

где проводимости y1, y2, y3 показаны на рис. 2.13.

Схемы рис. 2.11, а, б, преобразованные к виду П-образного 2х2-полюсника

[pic]

Рис. 2.12

Схема симметричного П-образного 2х2-полюсника канонического вида

[pic]

Рис. 2.13

Сопоставляя рис. 2.12 и 2.13, находим

[pic] , (2.29)

[pic] . (2.30)

Подставляя (2.29), (2.30) в (2.28), получаем а-матрицу устройства, в

котором внутренняя НВЛ образуется замыканием двух полюсов по диагонали

[pic], (2.31)

[pic].

Зависимость рабочего затухания от частоты, найденная в соответствии с

(2.13), приведена на рис. 2.8; коэффициент магнитной связи между проводами

НВЛ k = 0,9. Отметим, что полученная зависимость характерна для фильтра

верхних частот. Можно показать, что рассматриваемое устройство по сравнению-

с отрезком регулярно включенной линии той же длины дает фазовый сдвиг я и

на всех частотах. Таким образом, областью применения рассматриваемого

устройства является частотная селекция и (или) инверсия фазы.

[pic]

Рис. 2.14

Существенно, что при увеличения k область пропускания расширяется в

сторону низких частот (т. е. в сторону [pic]=0). Таким образом, увеличение

магнитной связи между проводами НВЛ обеспечивает уменьшение его длины (по

сравнению с наиболее длинной волной полосы пропускания); этот результат

иллюстрируется данными табл. 2.2.

Таблица 2.2

Зависимость длины устройства рис. 2.9, а, б от k

|K |0,85 |0,90 |0,95 |0,99 |

|[pic] |0,054 |0,035 |0,011 |0,0064 |

Из таблицы видно, что увеличение коэффициента магнитной связи от 0,85

до 0,99 уменьшает продольные габариты рассматриваемого устройства в 9 раз.

В предельном случае [pic] (область низких частот) и [pic] (полная магнитная

связь) а-матрица (2.31) принимает вид

[pic] , (2.32)

где [pic] - собственное индуктивное сопротивление одного из проводов линии

длиной l, Гн.

Частотная зависимость рабочего затухания, найденная с помощью (2.32),

изображена на рис. 2.14 штриховой линией. Из нее видно, что область

применения приближенной а-матрицы (2.32) составляет [pic], т. е. [pic].

Продолжая идеализацию, полагаем k = 1. В этом случае (2.32)

приобретает вид

[pic] , (2.33)

что соответствует схеме рис 2.15.

9 Замыкание полюсов отрезка линии по горизонтали

Два варианта замыкания полюсов линии по горизонтали изображены на

рис. 2.16, а, б; они соответствуют горизонтальному и вертикальному

положениям отрезка линии. На практике с целью предельного укорочения

короткозамыкающего провода НВЛ свертывают в кольцо (рис. 2.17, а, б). В

результате реализуется 2х2-полюсная подсхема, содержащая НВЛ во внутренней

цепи; это легко проследить на рис. 2.16, а, б; токи в полюсах входа и

выхода попарно равны и противонаправленны (вход и выход во всех устройствах

нагружены на сопротивления нагрузки R» и генератора Rr, в то время как

внутренняя цепь является НВЛ (токи во всех полюсах отрезка линии

различные).

Замещая НВЛ в схеме 2.16, а, полным четырехугольником (рис. 2.18) и

выполняя топологические преобразования, приводим схему рис 2.18 к виду П-

образного 2Х2-полюсника (рис 2.19), который описывается а-матрицей (2.28.)

Схемы замыкания по горизонтали полюсов лини

[pic]

Кольцевые варианты реализации схем

[pic]

а—рис. 2.16,а; б—рис. 2.16,б

Рис.2.17

К замене НВЛ полным четырехугольником в схеме рис. 2.16,а

[pic]

Рис. 2.18

Схема рис. 2.18, преобразованная к виду П-образного

2Х2-по-люсника

[pic]

Рис. 2.19

Учитывая (2.26) и (2.27), находим

[pic], (2.34)

[pic]. (2.35)

Подставляя (2.34), (2.35) в (2.28), получаем а-матрицу устройства с

короткозамкнутыми нижними (верхними) полюсами при горизонтальном

расположении НВЛ (рис. 2.16,а)

[pic], (2.36)

[pic] .

Зависимость рабочего затухания от частоты, соответствующая (2.36)

изображена на рис. 2.20 при k=0,5. Из рисунка можно заключить, что .при

коротком замыкании концов одного из проводов линии рис. 2.16,а ее рабочее

Страницы: 1, 2, 3, 4