Реферат: Дискретизация и квантование изображений

где звездочка означает комплексное сопряжение. Возведение в квадрат «защищает» высокочастотную информацию, уничтожающуюся при усреднении фаз в равенстве (4.58). Если в наблюдаемом секторе находится точечный источник, то можно найти среднюю квадратическую аппаратурную функцию <HiHi*> и выполнить восстановление изображения. Однако в формуле (4.59) теряется фазовая информация, и восстановленное изображение равно обратному преобразованию от квадратного корня из энергетического спектра исходного изображения f(x, у).

Другой, но весьма близкий способ обработки состоит в вычислении статистической автокорреляционной функции спектра изображения:

 (4.60)

Можно заметить, что при u1=v1=0 равенства (4.60) и (4.59) полностью совпадают. Если, как и прежде, имеется точечный источник, то

   (4.61)  

поскольку с помощью точечного источника можно найти комплексную автокорреляционную функцию усредненного по времени спектра аппаратной функции. Рассмотрим результат деления обеих частей равенства (4.61) на их модули:  

                                   (4.62)

где Ф — фазовая характеристика спектра F - изображения, рассматриваемая на двумерной плоскости фурье - преобразования. В правой части записано двумерное разностное уравнение относительно фазовой характеристики, а слева фигурируют только измеренные величины. Интегрирование этого разностного уравнения по всей плоскости преобразования Фурье даст фазовую характеристику, а в сочетании с модулем F, полученным из равенства (4.61), —спектр восстановленного изображения.

     Моделирование метода Нокса — Томпсона показало, что он может значительно улучшить разрушение при наблюдениях сквозь турбулентную атмосферу. На рис. 4.18 этот процесс иллюстрируется с помощью изображения астероида, полученного моделированием на ЭВМ. На рис. 4.18, а приведен оригинал, на рис. 4.18,6 показаны четыре отдельных снимка с атмосферными искажениями, а на рис. 4.18, б—восстановленное изображение, причем фазовая информация была получена в соответствии с формулой (4.62) путем обработки 100 снимков, подобных приведенным на рис. 4.18,6.

4.5. Воспроизведение изображений по проекциям

Открытие проникающей радиации (рентгеновских лучей, нейтронных пучков и т.д.) дало возможность получать изображения объектов, ранее недоступных или доступных только с помощью грубых и зачастую нежелательных средств; примером такого объекта могут служить внутренние участки мозга. Подобные изображения имеют очень важное значение для развития медицины. Усиление контроля за качеством элементов больших конструкций обусловило важность таких изображений для неразрушающих методов контроля. Однако изображения, полученные путем просвечивания с помощью проникающего излучения, имеют недостаток: они являются двумерными теневыми проекциями трехмерных объектов. Важные особенности пространственного расположения внутренних частей объекта в процессе проектирования в лучшем случае искажаются, а в худшем — теряются вообще. При хирургических операциях (например, при опухолях мозга) незнание внутренней структуры может оказаться, очевидно, роковым обстоятельством.

Задаче воспроизведения внутренней структуры объекта по его проекциям в последнее время уделяется большое внимание, и методы цифровой обработки сигналов оказали заметное влияние на ее решение. Предложен ряд методов воспроизведения изображения по проекциям; список литературы по этому вопросу дан в статье Мерсеро и Оппенгейма [50]. Ниже будет рассмотрена задача воспроизведения изображения по проекциям и дано ее решение методом, характерным для цифровой обработки сигналов, а именно, с помощью преобразования Фурье.

4.5.1. Образование проекций

Изображения, получаемые с помощью проникающей радиации, образуются за счет ослабления луча в исследуемом веществе. Чем плотнее вещество, тем слабее интенсивность луча, прошедшего через вещество. Таким образом, изображение, наблюдаемое в проходящих лучах, определяется интегральным влиянием некоторой характеристики вещества объекта на интенсивность луча. Пусть f(x1, x2, x3) описывает распределение вещества в пространственных координатах (х1, х2, x3). Допустим, что просвечивающий луч направлен вдоль оси х1, как на рис. 4.19. Тогда распределение интенсивности проникающего излучения в плоскости (x2, x3) пропорционально функции g, определяемой соотношением

               (4.63)

Важное свойство проекций, задаваемых формулами типа (4.63), можно заметить при анализе преобразования Фурье от функции g (x2,x3):

          (4.64)

Трехмерное преобразование Фурье от исходного распределения имеет вид

  (4.65)

Сравнивая G и F, видим, что

             (4.66)

Таким образом, преобразование от проекции равно преобразованию Фурье от распределения вещества в объекте при w1=0. Такую функцию называют сечением преобразования Фурье,

Рис. 4.19. Геометрические соотношения при воспроизведении     изображения по проекциям.

12

поскольку она образуется сечением исходного трехмерного преобразования вдоль двумерной плоскости.

Очевидно, что аналогичными свойствами обладают также проекции меньших размерностей. Предположим, что проникающее излучение направлено в виде плоского луча (т.е. луч имеет бесконечно малый размер вдоль оси x3 и перпендикулярен ей, причем вдоль оси x2 его интенсивность одинакова, а ширина больше размеров объекта). Луч с координатой x3 будет проектировать все элементы внутреннего строения объекта, лежащего в сечении, совпадающем с плоскостью луча. Если распределение вещества в сечении с координатой x3 описывается функцией f3( x1 , x2 ), то одномерная проекция двумерного сечения имеет вид

                   (4.67)

и соотношение

               (4.68)

как и прежде, описывает связь между преобразованиями проекции и оригинала.

Предположим теперь, что плоский луч проникающего излучения остается перпендикулярным оси x3, а источник излучения вращается вокруг некоторого центра, находящегося в объекте, так что угол между направлением луча и осью x1 равен не нулю, а некоторой величине  (см. рис. 4.20). Очевидно, можно сделать преобразование координат так, чтобы ось и1 была параллельна направлению проектирующего луча. Это преобразование имеет вид

Равенства (4.67) и (4.68) остаются справедливыми и в новой системе координат (u1, u2), что позволяет сформулировать следующую теорему о проекции и сечении, одномерное преобразование Фурье от проекции под углом  равно преобразованию Фурье исходного двумерного распределения вещества в двумерной плоскости спектральных переменных вдоль линии, направленной под углом , т.е. является сечением спектра под углом .

С помощью этой теоремы на основе проекций трехмерного тела можно воспроизвести изображение внутренней структуры тела. Если источник плоского луча расположить в точке с координатой х3, как показано на рис. 4.20, и изменять угол  в интервале 0<<, то, как показано в следующем разделе, из набора одномерных проекций можно воспроизвести структуру тела в сечении с координатой x3. Затем координата х3  изменяется и тем же

Рис. 4.20. Геометрические соотношения при вращении источника вокруг точки, зафиксированной в объекте, и схема получения двумерных проекций.

способом получается новое сечение. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен полный набор сечений, показывающих внутреннюю структуру объекта в трех измерениях.

Теоретически, конечно, можно воспроизвести структуру трехмерного объекта по его двумерным проекциям без использования вспомогательных одномерных проекций и связанных с ними сечений, как описано в предыдущем абзаце. На практике, однако, выгоднее пользоваться методом плоских сечений, хотя и связанным с повторением одинаковых операций, но зато не требующих такого огромного числа вычислений, как прямое воспроизведение трехмерной структуры. Поэтому задачу воспроизведения будем в основном рассматривать как задачу выделения двумерной информации из одномерных проекций. Ниже описываются методы цифровой обработки сигналов, позволяющие воспроизвести изображение.

4.5.2. Методы воспроизведения изображений

Основная операция при воспроизведении изображения по проекциям следует из теоремы о проекции и сечении. Преобразование Фурье от проекции дает значения преобразования Фурье от исходного распределения вещества в некотором его сечении. Если получить достаточно плотный набор таких сечений, то все пространство спектров будет заполнено сечениями и с помощью обратного преобразования Фурье можно завершить процесс воспроизведения изображения.

Рис. 4.21. Отсчеты в пространстве преобразований Фурье, полученные из набора проекций.

Каждая точка представляет значение F(w1,w2), полученное вычислением ДПФ проекции g(u) под углом .

Эта операция достаточно просто описывается, но для фактического ее выполнения необходимы весьма сложные и трудоемкие исследования. При воспроизведении изображения на основе сечений спектра важными являются следующие положения:

1. При вращении источника плоского луча для каждого из углов  получается своя проекция. Число проекций, необходимых для достаточно полного заполнения пространства преобразований Фурье, очевидно, зависит от формы преобразования Фурье воспроизводимого распределения. Однако чем меньше шаг по углу, тем плотнее заполняется пространство спектров (см. рис. 4.21). На практике число проекций ограничивается двумя факторами: 1) увеличением объема вычислений, связанным с обработкой дополнительных проекций; 2) увеличением дозы облучения при получении дополнительных проекций (что очень важно в медицинских  приложениях метода).

2. Сечения спектрального пространства образуют равномерную сетку в той системе координат, где на одной из осей откладывается угол поворота . Однако размещение отсчетов спектра в каждом из сечений не согласуется  с обычными двумерными преобразованиями. Двумерное ДПФ вычисляется на прямоугольной сетке отсчетов, образующих строки и столбцы, а точки, в которых известны ДПФ сечений, образуют полярный растр, показанный на  рис. 4.21. Поэтому необходимо с помощью интерполяции перейти к прямоугольному растру, что несложно с точки зрения теории, но нетривиально на практике, поскольку каждый отсчет, находящийся на концентрической полярной сетке, перед интерполяцией необходимо перевести в соответствующую прямоугольную систему координат. Такое преобразование двумерных координат и интерполяцию можно несколько упростить, пользуясь методом так называемого копцентрично - прямоугольного растра, но зато при этом интервалы дискретизации будут не одинаковыми [50].

3. Как видно из рис. 4.21, двумерное пространство преобразований Фурье очень плотно заполняется в области низких частот, а высокие частоты представлены гораздо реже. Поэтому для воспроизведения крупноструктурных элементов, описываемых низкочастотным спектром, требуется небольшое число проекций, например 20—30. Для достаточно четкого представления высокочастотных составляющих необходимо большое число проекций (100 и более). Если число проекций ограничено, то можно воспользоваться имеющимися проекциями и более плотно заполнить пространство спектров путем интерполяции. Это несколько улучшает результаты воспроизведения, но возможности данного метода ограничены, поскольку результаты интерполяции могут не соответствовать реальным значениям спектров. Качество и детали изображения определяются именно теми спектральными составляющими, которые нельзя предсказать путем интерполяции.

Другой метод воспроизведения изображений, в котором применяется цифровая обработка сигналов, называется методом свертки или «размазывания». Для пояснения метода рассмотрим две взаимно перпендикулярные проекции. Если каждую из проекций «размазать» (т.е. образовать двумерную функцию, не изменяющуюся по одной оси и совпадающую с исходной одномерной проекцией по второй оси) и значения обеих функций сложить как ортогональные векторы, то получится очень грубая аппроксимация исходного объекта. Читатель может проверить это, взяв для примера квадрат и построив проекции в направлениях, перпендикулярных его сторонам. В общем представляется возможным получить изображение «размазывая» проекции (это можно сделать путем свертки с подходящей функцией) и образуя сумму после соответствующего взвешивания отдельных слагаемых. Такой метод можно реализовать с помощью цифровой обработки, а также оптическими средствами. Однако данный метод крайне чувствителен к помехам, поскольку операции свертки и взвешивания влияют на обрабатываемые сигналы примерно так же, как дифференцирование.

Как образец результатов, получаемых при воспроизведении изображений цифровыми методами, на рис. 4.22 показано сечение человеческого мозга, полученное с помощью серийного рентгеновского аппарата для воспроизведения изображений внутреннего строения головы.

Этот краткий обзор не исчерпывает всех вопросов, связанных с воспроизведением изображений на основе проекций. С другими методами можно познакомиться по работам, указанным в списке литературы, составленном Мерсеро и Оппенгеймом [50].

4.6. Повышение качества изображений

Цель процесса повышения качества изображения состоит в том, чтобы снимок «выглядел лучше». Неудивительно поэтому, что если цель намечена так туманно, то и методы, применяемые для  повышения качества изображений, оказываются весьма разнообразными. Субъективные суждения о том, что изображение «выглядит лучше», связаны также с критериями, зависящими от предназначения изображения (изображение должно «выглядеть лучше» применительно к определенной задаче). Если использование изображения связано с точным анализом или количественными измерениями, то радикальные операции, приводящие к значительному изменению пространственных или яркостных соотношений в изображении, могут оказаться неприемлемыми. С другой стороны если изображение применяется только для субъективных целей, то допустимы операции, существенно изменяющие пространственные или яркостные соотношения или же и те и другие, но в целом улучшающие субъективное восприятие изображения. Следовательно, для повышения качества изображения можно применять широкий круг методов; пригодность каждого из них зависит от целей повышения качества данного изображения.

4.6.1. Повышение качества изображения путем пространственно-                                 частотной фильтрации

Для улучшения изображений часто используется пространственно-частотная фильтрация. Если даже снимок не имеет явных дефектов, можно применить фильтр с небольшим подъемом характеристики на верхних частотах, и снимок будет выглядеть более резким. Столь же полезна режекция постоянной составляющей, когда подавляются или ослабляются некоторые (или все) составляющие, расположенные вблизи нулевой частоты. В результате снижается насыщенность больших черных и белых пятен, а изменение масштабов яркости улучшает различимость мелких деталей. На рис. 4.23, а и б приведен пример повышения качества  рентгенограммы тепловыделяющего элемента ядерного реактора с помощью пространственно-частотной фильтрации. На улучшенном снимке стало заметно гораздо больше деталей, а также видны ядерное топливо и оболочка элемента.

Особенно интересный метод повышения качества основан на мультипликативной модели формирования изображения в сочетании с гомоморфной фильтрацией [19]. Согласно законам поверхностного отражения, изображение образуется из двух компонент:

                  (4.69)

где i’ - распределение освещающего пучка, а r - коэффициент отражения освещаемого объекта. Как правило, освещающая компонента образуется из низкочастотных пространственных составляющих, для которых коэффициент отражения приближается к зеркальному и богат деталями. Если прологарифмировать выражение (4.69):

            (4.70)

то связь между коэффициентом отражения, освещением и изображением будет выражаться не произведением, а суммой. При фильтрации логарифма изображения режекторным фильтром, настроенным на нулевую частоту, освещающая компонента будет подавлена, а связанный с этим подъем высоких частот улучшит различимость мелкомасштабных элементов. При потенцировании сигнал возвращается в пространство яркостей и образуется изображение, не содержащее отрицательных яркостей. Заметим также, что логарифмирование обусловливает фильтрацию в пространстве плотностей пленки; это является еще одним доводом, дополняющим соображения о предпочтительности обработки в пространстве плотностей, высказанные ранее в разделе о восстановлении изображений.

На рис. 4.24, а, б приведен пример повышения качества изображения методом гомоморфной обработки. Заметим, что изображение стало более резким и на нем лучше различаются предметы, расположенные в тени под крышей. 

4.6.2. Повышение качества изображений с помощью

           точечных операций

Метод повышения качества изображений, основанный на пространственно-частотной фильтрации, можно противопоставить другим методам, в которых воздействие не распространяется на некоторую область (как для свертки), а все операции являются точечными изображения преобразуются в точки нового изображения независимо друг от друга. Точечные операции можно сгруппировать следующим образом.

Преобразования контрастности. Улучшение изображения происходит за счет изменения его контрастности, что достигается нелинейным преобразованием яркостей. Если, например, корректируемое изображение содержит участки, недодержанные при съемке, то можно воспользоваться преобразованием, «растягивающим» область малых яркостей и переводящим ее в интервал яркостей, более удобных для зрения. Наглядными примерами, в которых требуется подобное преобразование, служат операции  коррекции неправильно экспонированных пленок, а так же линеаризации характеристик устройств демонстрации изображения, рассмотренные в первом разделе.

Улучшение на основе статистических данных.  Выбор закона преобразования контрастности можно частично автоматизировать, воспользовавшись для подбора его параметров статистическими    характеристиками изображения (например, средним значением или дисперсией яркости). Предельным случаем является метод выравнивания гистограмм. В теории информации показано, что равномерная гистограмма соответствует сообщению с максимальной информацией. Поэтому, если гистограмма квантованного изображения (дающая число отсчетов, попадающих на каждый из уровней квантования) после преобразования контраста становится равномерной (т.е. все уровни квантования проявляются с равной вероятностью), то изображение должно содержать максимальное количество информации. Данный метод обычно дает наилучшие результаты при квантовании яркостных изображений, гистограммы которых, как правило, отличаются  наибольшей неравномерностью [13]. В результате можно довольно просто получить значительное улучшение изображения [51].

Оконтуривание (препарирование) изображений.   При   использовании всех рассмотренных методов решается задача повышения качества

Рис. 4.25. Блок-схема устройства отображения, обеспечивающего поточечное улучшение  изображении с непосредственным участием оператора.

изображения без существенного его изменения. Если же цель обработки состоит в том, чтобы облегчить восприятие определенной информации, то очень часто применяют методы оконтурирования, когда возможно заметное искажение яркостных и (или) пространственных соотношений. Наиболее   распространенным

является метод псевдоцвета, в котором различным яркостям произвольно сопоставляются разные цвета. Демонстрируемое изображение будет содержать отчетливые контуры, проходящие по границам цветных полос. В результате может либо произойти четкое выделение важных деталей, либо получится обманчивое смешение пятен, скрывающее изображение, либо может образоваться забавная цветная картинка, ничего не выделяющая и ничего не скрывающая. В другом методе производится оконтуривание границами черного и белого цвета путем уменьшения числа уровней квантования (обычно до 10 и менее). Отбрасывание от одного до трех старших разрядов также создает контуры, причем картина, получаемая при выделении деталей таким образом, может оказаться очень живописной.

Весьма интересными применительно к точечным операциям повышения качества изображений являются последние образцы цифровых устройств отображения информации (рис. 4.25), позволяющие оперативно корректировать изображение. С помощью быстодействующих постоянных запоминающих устройств (ПЗУ)  удается изменять яркости точек изображения при передаче их из ЗУ на электронно-лучевую трубку. Исходное же изображение, записанное на диски, при этом остается неизменным. Таким образом,  загрузив в ПЗУ различные функции, описывающие закон изменения яркостей, можно очень быстро переходить от одного способа преобразования яркости к другому. Нужно видеть такое устройство, чтобы полностью оценить его гибкость в улучшении контрастности, коррекции ошибок экспонирования, подстановке псевдоцвета и т.д. Подобные цифровые устройства отображения превращают точечные операции в эффективное и удобное средство улучшения изображений, обеспечивающее возможность взаимодействия человека с машиной.

Автор хотел бы выразить признательность д-ру Томасу Г. Стокхему мл., который внимательно прочитал рукопись и сделал замечания. Автор также глубоко благодарен всем, кто оказал любезность, предоставив приведенные выше снимки: д-ру Вильяму К. Пратту из Университета штата Южная Каролина (рис. 4.9 и 4.10 в разделе о сокращении избыточности изображений), д-ру Т. М. Кэннону из Лос-Аламосской научной лаборатории (рис. 4.16, а, б и 4.22) д-ру Т.Г. Стокхему (мл.) и д-ру Б. Бекстеру из Университета шт. Юта (рис. 4.23, а, б), а также д-ру Е. Баррету из фирмы ЕСЛ (рис. 4.18, а - в).