МЕНЮ


Фестивали и конкурсы
Семинары
Издания
О МОДНТ
Приглашения
Поздравляем

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ


  • Инновационный менеджмент
  • Инвестиции
  • ИГП
  • Земельное право
  • Журналистика
  • Жилищное право
  • Радиоэлектроника
  • Психология
  • Программирование и комп-ры
  • Предпринимательство
  • Право
  • Политология
  • Полиграфия
  • Педагогика
  • Оккультизм и уфология
  • Начертательная геометрия
  • Бухучет управленчучет
  • Биология
  • Бизнес-план
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Банковское дело
  • АХД экпред финансы предприятий
  • Аудит
  • Ветеринария
  • Валютные отношения
  • Бухгалтерский учет и аудит
  • Ботаника и сельское хозяйство
  • Биржевое дело
  • Банковское дело
  • Астрономия
  • Архитектура
  • Арбитражный процесс
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Административное право
  • Авиация и космонавтика
  • Кулинария
  • Наука и техника
  • Криминология
  • Криминалистика
  • Косметология
  • Коммуникации и связь
  • Кибернетика
  • Исторические личности
  • Информатика
  • Инвестиции
  • по Зоология
  • Журналистика
  • Карта сайта
  • Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

    Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

    3. Аналіз діючих підручників та тестів.

    Порівняльна характеристика тем.

    Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція»

    вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова.

    На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль,

    З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому.

    Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих

    підручниках.

    Тема: «Показникова функція».

    |Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |

    |А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |

    |аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |

    | |кл.» |

    |(1 Показникова функція |(1 Поняття показникової функції. |

    |n.1.Степінь з ірраціональним |n.1. Означення і графік |

    |показником |показникової функції. |

    |Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic], |

    |кожному числу [pic] число [pic]. |де а>0, [pic] називається |

    |Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а). |

    |[pic], визначену на множені Q |Вивчення показникової функції |

    |раціональних чисел. Зазначається, |починається з функції [pic], |

    |що при а=1 функція [pic] стала, |потім розглядається [pic], |

    |так як [pic] для будь-якого |будуються їхні графіки і |

    |раціонального числа. |порівнюються. Далі розглядається |

    |Будуються графіки функцій [pic] і |функція [pic]. Порівнюються графіки|

    |[pic] і порівнюються. Далі |функції [pic] і [pic]. З графікив |

    |описується як визначається число |зчитуються спільні властивості. |

    |[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій |

    |а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З |

    |описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості |

    |для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій. |

    |[pic] для будь-якого [pic] і | |

    |[pic][pic]для [pic][pic][pic] | |

    |n.2. Властивості показникової |n.2. Загальні властивості |

    |функції. |показникової функції. |

    |Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R |

    |[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic] |

    |показниковою з основою а. |якщо x=0, показникова функція [pic]|

    |Формулюються основні властивості: | |

    |Область визначення множина R |Зазначені вище властивості |

    |дійсних чисел. |доводяться, розглядаються всі |

    |Область значень множина R+ всіх |можливі випадки. Далі наводяться |

    |додатніх дійсних чисел. |властивості без доведення. |

    |При [pic] функція зростає на всій |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |

    |числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|

    |спадає на множині R. |додатнє число N, існує, і до того ж|

    |При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic] |

    |у справедливі рівності | |

    | | |

    |[pic] | |

    |[pic]; | |

    |[pic] | |

    |[pic] | |

    |[pic]. | |

    | |n.3. Властивості графіка |

    | |показникової функції. |

    | |Графік розміщений у верхній |

    | |півплощині, тобто там де ординати |

    | |додатні. |

    | |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |

    | |перетинає графік і до того ж тільки|

    | |в одній точці. |

    | |Крива проходить через точку (0;1), |

    | |тобто коли х=0, функція чисельно |

    | |дорівнює 1. |

    | |З двох точок графіка вище розміщена|

    | |та , яка лежить правіше, тобто в |

    | |міру просування зліва на право він |

    | |піднімається вгору. |

    | |На графіку є точки, які лежать вище|

    | |будь-якої прямої, паралельної осі |

    | |0х. На графіку є точки, що лежать |

    | |нижче будь-якої прямої, проведеної |

    | |у верхнії півплощині паралельно осі|

    | |Х. |

    | |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|

    | |і лежить у верхній півплощині, |

    | |перетинає графік, і при чому в |

    | |одній точці. |

    | |n.4.Приклади застосування |

    | |властивостей показникової функції. |

    | |В цьому пункті наводяться приклади |

    | |вправ на показникову функцію і |

    | |варіанти їх розв’язування. |

    | |n.5. Використання показникової |

    | |функції під час вивчення явищ |

    | |навколишнього середовища |

    | |Задача про радіоактивний розпад. |

    | |Задача про зміну атмосферного |

    | |тиску. |

    | |Задача про розмноження бактерій. |

    | |Задача про вакуумування. |

    | |Задача про приріст деревини. |

    | |Всі запропоновані задачі наводяться|

    | |з розв’язанням. |

    | |n.6. Основні показникові |

    | |тотожності. |

    | |Для будь-яких дійсних значень х і у|

    | |справедливі рівності: |

    | |[pic] |

    | |[pic]; |

    | |[pic] |

    | |[pic] |

    | |[pic] |

    |(2 Розв’язування показникових |(2 Розв’язування показникових |

    |рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |

    |n.1. Рівняння. |n.1. Показникові рівняння. |

    |Розглядається найпростіше |Показниковим називають рівняння, в |

    |показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до |

    |[pic]. Кажуть, що у випадку [pic] |показників степенів при сталих |

    |або [pic] рівняння не має |основах. Найпростішим рівнянням є |

    |розв’язків. |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|

    |Нехай [pic]. Функція [pic] на |що загального методу розв’язування |

    |проміжку [pic] зростає при [pic] |показникових рівнянь немає. |

    |(спадає при [pic]) і набуває |Виділяють кілька типів показникових|

    |додатних значень. Застосувавши |рівнянь і наводять схеми (приклади)|

    |теорему про корінь, дістаємо, що |їх розв’язання. |

    |рівняння при будь-якому [pic], |Найпоширеніший спосіб: зведення |

    |[pic], має єдиний корінь. |обох частих показникового рівняння |

    |Щоб його знайти треба [pic]подати |до спільної основи. Приклади. |

    |у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання: |

    |є розв’язком рівняння [pic] , |зведення до спільного показника. |

    |демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння |

    |Розглядається 4 приклади. |перетворюють відомими методами: |

    | |заміни, зведення до квадратного |

    | |рівняння, а потім вже |

    | |використовують певну схему. |

    |n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|

    |Розв’язання найпростійших |містять показникову функцію. |

    |показникових показникових |Найпростішими є нерівності виду |

    |нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування |

    |властивості функції [pic]; ця |використовують властивість |

    |функція зростає, якщо [pic], і |монотонності показникової функції. |

    |спадає, якщо [pic]. Розглядаються |І кажуть, що для [pic] |

    |приклади. |розв’язування даної нерівності |

    | |зведеться до розв’язування |

    | |нерівності [pic], а для [pic] |

    | |зводиться до розв’язування |

    | |нерівності [pic]. Приклади |

    | |розв’язання нерівностей. |

    Тема: «Логарифмічна функція».

    |Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |

    |А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |

    |аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |

    | |кл.» |

    |(1 Логарифми і їх властивості. |(1 Логарифми. |

    |n.1.Логарифм. |n.1. Поняття логарифма. |

    |Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |

    |b за основою а називається |[pic], де a>0, a[pic]1, називають |

    |показник степеня, до якого слід |логарифмом числа N за основою а. |

    |піднести основу а, щоб отримати |Логарифмом числа N за основою а |

    |число b. |(a>0, a[pic]1) називається показник|

    |Тут же зазначається, що формулу |степеня х, до якого треба піднести |

    |[pic] ( де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N. |

    |основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводиться логарифмічна |

    | |рівність [pic] і показникова |

    | |рівність [pic] і зазначається, що |

    | |ці рівності визначають одне і теж |

    | |співвідношення. Наводяться три |

    | |основні задачі: |

    | |Знайти число N за даним його |

    | |логарифмом b і за основою а. |

    | |Знайти основу а за даним числом N і|

    | |його логарифмом b. |

    | |Знайти логарифм від даного числа N |

    | |за данною основою а. |

    | |Далі наводять приклади. |

    | |n.2. Основна логарифмічна |

    | |тотожність. |

    | |Розглядається показникова рівність|

    | |[pic](1). За означенням логарифма |

    | |[pic](2), [pic](3). Рівність (3) |

    | |називається основною логарифмічною |

    | |тотожністю. |

    |n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.|

    | | |

    |Для будь-яких a>0 (a(1) і будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних|

    |додатніх х і у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їх |

    | |логарифмів, тобто [pic] де [pic] |

    |[pic] |[pic] |

    |[pic] |Т.2. Логарифм частки двох додатних |

    |[pic] |чисел (дробу) дорівнює різниці |

    |[pic] |логарифмів діленого і дільника |

    |[pic] |(чисельника і знаменника), тобто |

    |Далі наводиться формула переходу |[pic], де [pic] [pic] |

    |від однієї основи логарифма до |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник|

    |іншої [pic] |якого дорівнює одиниці, дорівнює |

    |Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого з |

    |логарифма на описовому рівні: |протилежним знаком. |

    |Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного |

    |основою10 і позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня, |

    |більш конкретно на десяткових |помноженому на логарифм основи |

    |логарифмах не зупиняються. |цього степеня, тобто [pic], де m - |

    | |будь-яке число, [pic] |

    | |Т.4. Логарифм кореня з додатного |

    | |числа дорівнює логарифму |

    | |підкореневого виразу, поділеного на|

    | |показник кореня, тобто [pic] |

    | |5. [pic] |

    | |[pic] |

    | |Всі властивості доводяться. |

    | |n.4. Деякі важливі тотожності, що |

    | |містять логарифми. |

    | |[pic] |

    | |[pic] |

    | |[pic] |

    | |Всі тотожності доводяться. |

    | |n.5. Потенціювання |

    | |Перетворення за допомогою якого за |

    | |даним логарифмом числа (виразу) |

    | |визначають саме число (вираз), |

    | |називають потенціюванням. |

    | |n.6. Перехід від однієї основи |

    | |логарифма до іншої. |

    | |Вводиться формула [pic] |

    | |n.7. Натуральні логарифми з основою|

    | |е називають натуральним, або |

    | |неперовим. [pic] |

    |(2 Логарифмічна функція |(2 Логарифмічна функція |

    |Функція задана формулою [pic], |n.1. Поняття логарифмічної функції:|

    |називається логарифмічною з основою| |

    |а. |Функцію [pic], називають |

    |Перечисляють основні властивості |логарифмічною функцією за основою а|

    |цієї функції. Властивості |(a>0 ,a(1). Зазначається, що графік|

    |аналогічні до перших трьох |функції [pic] можна дістати з |

    |властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично |

    |наведені у підручнику Шкіля М.І. |відобразивши останній відносно |

    |Далі зазначається, що графіки |прямої у=х. |

    |показникової і логарифмічної, що | |

    |мають однакову основу, симетричні |n.2. Властивості логарифмічної |

    |відносно прямої у=х. Потім |функції. |

    |розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної |

    |властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх |

    |На цьому вивчення теми логарифмічна|чисел. |

    |функція в підручнику під редакцією |Область значень- множина всіх |

    |Колмогорова закінчується. |дійсних чисел. |

    | |Логарифмічна функція на всій |

    | |області визначення R+ зростає, якщо|

    | |a>1 і спадає, якщо 00 (a(1) |

    | |виконуються рівності |

    | |[pic] |

    | |[pic] |

    | |[pic], якщо [pic] |

    | |[pic], якщо [pic] |

    | |для будь-якого [pic] і будь-якого |

    | |p(R [pic] |

    | |Далі розглядаються властивості для |

    | |випадків [pic] і [pic]; властивості|

    | |логарифмів чисел за основою [pic]; |

    | |Властивості логарифмів чисел за |

    | |основою [pic]. |

    | |Наводяться приклади вправ та їх |

    | |розв’язання. |

    |(3 Розв’язування логарифмічних |(3 Розв’язування логарифмічних |

    |рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |

    |Найпростіше логарифмічне рівняння |n.1. Логарифмічні рівняння. |

    |[pic]. Логарифмічна функція |Приклади розв’язування |

    |зростає (або спадає) на проміжку |логарифмічних рівнянь. |

    |[pic] і набуває на цьому проміжку |Логарифмічними називають рівняння, |

    |всіх дійсних значень |які містять змінну під знаком |

    |(демонструється на графіку). За |логарифма. Найпростіше рівняння |

    |теоремою про корінь звідси |[pic] де [pic] і [pic], [pic]- |

    |випливає, що для будь-якого |будь-яке число. Воно має єдиний |

    |[pic]дане рівняння має і притому |розв’язок [pic], який можна дістати|

    |тільки один розв’язок. З означення |за допомогою потенціювання. |

    |логарифма числа випливає, що [pic]і|Розв’язування рівняння [pic](1) |

    |є таким розв’язком. Приклади. |рівносильно системі [pic], інакше |

    | |кажучі рінвосильне кожній із |

    | |змішаних систем [pic], [pic]. |

    | |Тобто для розв’язування рівняння |

    | |(1) досить розв’язати рвняння [pic]|

    | |і його розв’язки підставити в |

    | |систему нерівностей [pic], яка |

    | |задає область визначення рівняння. |

    | |Говориться і про можливість втрати |

    | |коренів і появі стороніх коренів та|

    | |розглядають це на прикладі. |

    | |Розглядаються приклади |

    | |розв’язування рівнянь різними |

    | |способами (потенціювання, |

    | |логарифмування). |

    | |Розглядаються також |

    | |показниково-логарифмічні рівнняня. |

    |Логарифмічні нерівності та системи|n.2. Розв’язування систем |

    |логарифмічних рівнянь і нерівностей|логарифмічних рівняннь. |

    |розглядаються тільки на прикладах, |При розв’язуванні систем |

    |і нічого про них не говориться. |логарифмічних рівнянь |

    | |використовуються ті самі способи, |

    | |що й при розв’язуванні алгебраїчних|

    | |систем. |

    | |n.3. Логарифмічні нерівності. |

    | |Логарифмічні нерівності виду |

    | |[pic](1). |

    | |Кажуть, що якщо [pic], то (1) |

    | |рівносильна системі [pic] |

    | |а якщо [pic], то (1) рівносильна |

    | |системі [pic]. |

    | |Розв’язуються приклади. |

    Провівши порівняльну характеристику вивчення тем показникова і

    логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:

    1. В обох підручниках тема «Показникова функція» і «Логарифмічна

    функція» вивчаються на основі одних і тих понять.

    2. Понятійний апарат більш ширший в новому підручнику під редакцією

    М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у

    10-11 кл.». В підручнику під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і

    початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат дуже вузький. Тому

    для глибокого і досконалого вивчення заданих тем бажано

    використовувати новий підручник.

    3. Більш строгий виклад теорії спостерігається в підручнику під

    редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки

    аналізу у 10-11 кл.». В ньому доводяться всі властивості і

    розглядаються всі можливі випадки з доведенням. В підручнику А.Н.

    Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально

    доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.

    4. Розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей

    більш широко і доступно викладено в підручнику під редакцією

    М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у

    10-11 кл.» тому його бажано використовувати для більш поглибленого

    вивчення даної теми.

    В підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук

    «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» властивості і теореми

    доводяться детальніше, тому він може бути використаний для

    самостійного вивчення тем учнями.


    Приглашения

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хореографического искусства в рамках Международного фестиваля искусств «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хорового искусства в АНДОРРЕ «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»




    Copyright © 2012 г.
    При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.