|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть мы предполагаем, что на эффективность системы влияют и другие — ненаблюдаемые, но легко интерпретируемые (объяснимые по смыслу, причине и механизму влияния) величины — факторы. Сразу же сообразим, что чем больше n и чем меньше таких число факторов m (а может их и нет вообще!), тем больше надежда оценить их влияние на интересующий нас показатель E. Столь же легко понять необходимость условия m < k, объяснимого на простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на обнаружение более пяти “новых”, легко объяснимых, но неизмеряемых признаков у таких предметов, даже если мы “испытаем” очень большое их количество. Вернемся к исходной матрице наблюдений E[n·k] и отметим, что перед нами, по сути дела, совокупности по n наблюдений над каждой из k случайными величинами E1, E2, … E k. Именно эти величины “подозреваются” в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности. Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой разброса случайной величины E i служит ее дисперсия, определяемая суммой квадратов всех зарегистрированных значений этой величины S(Eij)2 и ее средним значением (суммирование ведется по столбцу). Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений, т.е. вместо Ei j будем использовать случайные величины Xij = , {3-27} то мы преобразуем исходную матрицу в новую X[n·k] {3-28} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X 11 |
X12 |
… |
X1i |
… |
X1k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
X 21 |
X22 |
… |
X2i |
… |
X2k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
X j1 |
Xj2 |
… |
Xji |
… |
Xjk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
X n1 |
Xn2 |
… |
Xni |
… |
Xnk |
Отметим, что все элементы новой матрицы X[n·k] окажутся безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xij составит, к примеру, +2, то это будет означать только одно - в строке j наблюдается отклонение от среднего по столбцу i на два среднеквадратичных отклонения (в большую сторону).
Выполним теперь следующие операции.
· Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и разделим результат на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1 , т.е. D1. Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех наблюдаемых (но уже нормированных) величин.
· Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n) для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1). То, что мы теперь получим, называется ковариацией C12 случайных величин X1 , X2 и служит мерой их статистической связи.
· Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в результате получим еще одну, квадратную матрицу C[k·k], которую принято называть ковариационной.
Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k).
Ковариационная матрица C[k·k] {3-29}
D1
C12
C13
…
…
C1k
C21
D2
C23
…
…
C2k
…
…
…
…
…
…
Cj1
Cj2
…
Cji
…
Cjk
…
…
…
…
…
…
Cn1
Cn2
…
Cni
…
Dk
Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице {3-29} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или корреляционную матрицу
R [k·k] {3-30}
1
R12
R13
…
…
R1k
R21
1
R23
…
…
R2k
…
…
…
…
…
…
Rj1
Rj2
…
Rji
…
Rjk
…
…
…
…
…
…
Rn1
Rn2
…
Rni
…
1
в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции.
Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k·k] диагональной, с единицами в главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили подтверждение.
Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?
Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).
Дальнейший ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k·k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только матрицей R[k·k], то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде.
Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei.
Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменных Zj ( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k):
Zj = S Aj i ·X i {3-31}
и, кроме того, обладает дисперсией, такой что
D(Z1) ³ D(Z2) ³ … ³ D(Zk).
Поиск коэффициентов Aj i (их называют весом j-й компонеты в содержании i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться.
Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2·2] может рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [k·k]— как описание k точек k-мерного пространства.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
09.12.2013 - 16.12.2013
09.12.2013 - 16.12.2013
Copyright © 2012 г.
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.